从傅里叶(Fourier)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波(Wavelet)变换
本文是边学习边总结和摘抄各参考文献内容而成的，是一篇综述性入门文档，重点在于梳理傅里叶变换到伽柏变换再到小波变换的前因后果，对于一些概念但求多而全，所以可能会有些理解的不准确，后续计划分别再展开学习研究。通过本文可以了解到：
1）傅里叶变换的缺点；2）Gabor变换的概念及优缺点；3）什么是小波；4）小波变换的概念及优点。
一、前言
二、傅里叶变换(Fourier Transform)
为了解决这种局部性的问题，1946年，DennisGabor提出了“窗口Fourier变换”的概念，即Gabor变换。
三、Gabor变换
Gabor，一般音译为伽(gā)柏(bó)。简单了解一下Dennis Gabor这个人吧：
这里提一下“紧支集”的概念，因为会经常见到这个术语，对于STFT的窗函数就要求是一个紧支集函数，百度知道里对“紧支集”有一个很通俗的解释：对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0。那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。
四、Gabor变换的缺点
Gabor变换的时间-频率窗如下图所示：
五、什么是小波(Wavelet)
傅里叶变换就是基于这些“波”（正弦和余弦），它从负无穷到正无穷都存在，而小波变换则是基于以下的这种“小波”：
这是一个小波母函数，比较它和前面的“波”也就可以知道为什么称它为小波（只存在于一段时间内为非零值）。小波母函数经过尺度变换、时移等，可得到一系列小波函数，简称小波（前三个图是尺度变换的，后三个图是时移变换的）：
下面把“波”与“小波”作一个对比：
从数学上来说，小波是函数空间L2(R)中满足“容许性”条件（简单理论就是上面的wavelet的几个特点吧，详细请看参考文献）的一个函数或信号ψ(x)。对于任意实数对(a,b)，其中参数a必须为非零实数，称如下形式的函数：
为由小波母函数ψ(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称小波。小波母函数ψ(x)只有在原点的附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为零（从前面的小波母函数图中也可以看出来）。所以对于任意参数(a,b)，小波函数ψa,b(x)在x=b附近存在明显的波动，远离x=b的地方迅速衰减到零（因为b是时移量，母小波是以原点为中心，时移就以b为中心了，如果有尺度变换的话再考虑进去就可以了）。
六、小波(Wavelet)变换
“小波”的概念是由法国地质学家J.Morlet在上个世纪八十年代(1984年)在研究地下岩石油层分布时提出的，并成功应用于地质数据处理中；其后数学家Meyer创造性地构造了第一个具有一定衰减性质的光滑小波；1987年，Matllat提出了多尺度分析思想和Mallat 算法（Mallat算法在离散小波变换中的地位相当于FFT在Fourier变换中的地位），成功地统一了在此之前提出的各种具体小波函数的构造。小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想，同时克服了傅里叶变换和Gabor变换的一些缺陷。最重要的是小波变换给出了一个可以调节的时频窗口，窗口的宽度随频率变化，频率增高时时间窗口的宽度自动变窄，以提高分辨率，“采用小波分析，就像使用一架可变焦距镜头的照相机一样，可以转向任一细节部分”。
设信号f(t)∈L2(R)，其连续小波变换(Continuous WaveletTransform, CWT)定义为
可见，信号f(t)的小波变换是一个二元函数。从形式上也可以看出，信号f(t)的小波变换本质上是原来的f(t)在t=b附近按ψa,b(t)进行加权平均，体现的是以ψa,b(t)为标准f(t)的快慢变化情况。这样，参数b表示分析的时间中心或时间点，而参数a体现的是以t=b为中心的附近范围的大小。所以，一般称参数a为尺度参数（即伽柏变换中的ω），而参数b为时间中心参数（即枷柏变换中的t）。因此小波变换也是时频分析（这似乎是废话，它比Gabor变换还牛，前者都已经是时频分析了，它能不是么？）
小波变换相比于STFT，优点是明显的：1）由于小波母函数ψa,b(t)相当于窗函数，但其窗宽是可变的，较好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，其变化规律使得小波变换具有优良的局部化特性，对分析突变信号和奇异信号非常有效，充分体现了常相对带宽频率分析和自适应分析的思想；2）小波变换能将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的信号，并对频率大小不同的信号采用相应粗细的时空域取样步长，从而能够不断聚焦到对象的任意微小细节，对时变信号的频谱分析意义重大。3）并不要求小波变换基底是正交的，其时宽频宽乘积较小，因而展开系数的能量较为集中【8】。
学习小波变换时会发现有一大堆形形色色的小波变换，这是因为小波变换与小波母函数ψ(x)有关，不同的小波母函数ψ(x)则对应着不同种类的小波变换了，比如Haar小波、Shannon小波、墨西哥草帽状小波等等。可以证明，ψa,b(x)的时频窗口面积与参数a和b无关，仅于ψ (x)的选取有关，所以不能通过选择参数a和b使时域和频域窗口的半径同时缩小，时域和频域上的分辨率相互牵制，要想使两者的分辨率同时提高，就必须选择适当的小波母函数ψ(x)，小波母函数趋向于零的速度是衡量小波母函数性质好坏的一个重要标志。
经常见到正交小波、半正交小波、双正交小波的概念，文献【6】中有解释如下：
参考文献：
【1】李丽容. 小波分析的产生、发展及应用[J]. 中国水运，2007，5(3)：94-96.
【2】金连文. Gabor滤波器及其应用[PPT]，百度文库
【3】微雪. matlab学习：图像频域分析之Gabor滤波.博客园
【4】wcrzq，microwest. 紧支集是什么意思，求详细解释，谢谢.百度知道
【5】郑治真，沈萍，谢永.从Gabor变换到小波分析[J].中国地震，1996，12(3)：237-242.
【6】董新洲，贺家李，葛耀中.小波变换：第2讲离散小波变换[J].1999，27(2)：57-60.
【7】liuchunranshao，qianxun881119. 小波的基函数有哪些？.百度知道
【8】余小勇. 信号分析从傅氏变换到小波变换[J]. 西安邮电学院学报，2001，6(1)：64-66.
【9】贾朱值，董立文，董勃，谢元旦.Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究[J].鞍科技大学学报，2005，28(1)：12-16，21.
【10】李建华，李万社. 小波理论发展及其应用（综述）[J]. 河西学院学报，2006，22(2)：27-31.
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