用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s²＝4h（H﹣h）．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．

（1）写出s²与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．

答案

解：（1）∵s²＝4h（H﹣h），

∴当H＝20时，s²＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）²+400，

∴当h＝10时，s²有最大值400，

∴当h＝10时，s有最大值20cm．

∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；

（2）∵s²＝4h（20﹣h），

设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：

4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），

∴20a﹣a²＝20b﹣b²，

∴a²﹣b²＝20a﹣20b，

∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），

∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，

∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，

∴a＝b或a+b＝20；

（3）设垫高的高度为m，则s²＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）²，

∴当h＝时，s_max＝20+m＝20+16，

∴m＝16，此时h＝＝18．

∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．

【分析】（1）将s²＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s²的最大值，再求s²的算术平方根即可；

（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），利用因式分解变形即可得出答案；

（3）设垫高的高度为m，写出此时s²关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．