压缩感知：正交匹配追踪(OMP)算法实现与重构

"压缩感知OMP重构算法" 压缩感知(Compressed Sensing, CS)是一种理论，它允许通过较少的测量来重构高维信号，这在传统采样理论中是不可能的。正交匹配追踪法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)是压缩感知中的一种常用重构算法。该算法的核心思想是逐步寻找与测量向量最相关的信号系数，通过迭代过程重构原始信号。 在这个MATLAB代码中，作者沙威来自香港大学电子工程系，他实现了1-D信号的压缩感知，并使用了OMP算法进行重构。代码遵循以下步骤： 1. 时域测试信号生成：首先定义了一个稀疏度为K（这里是7）的信号，信号长度为N（256），并设置了四个不同频率的正弦波组合成的信号。采样频率设定为fs（800Hz），根据奈奎斯特定理，信号可以通过这个频率无损地恢复。 2. 时域信号压缩传感：生成一个随机的测量矩阵Φ，大小为M×N（64×256），用于获取信号的线性测量。将原始信号与测量矩阵相乘，得到压缩后的测量向量s。 3. 正交匹配追踪法重构信号：OMP算法通过迭代找到与残差向量最匹配的信号系数。首先初始化待重构的谱域向量hat_y和增量矩阵Aug_t，然后在每次迭代中，计算恢复矩阵的列向量与残差的内积，找出最大内积对应的列，并将其加入到增量矩阵中。接着，通过最小二乘法更新重构向量，并更新残差。这个过程重复m次（这里设置为2*K）。 4. 恢复信号与原始信号对比：最后，通过逆傅里叶变换将重构的谱域向量转换回时域信号hat_x，并与原始信号x进行对比。利用范数比较两者之间的差异，评估重构的准确性。 参考文献提及了Joel A. Tropp和Anna C. Gilbert的研究，他们在2007年的论文中详细阐述了正交匹配追踪法在信号恢复中的应用。 这段代码展示了如何在实际应用中实施压缩感知和OMP算法，对于理解CS理论及其在信号处理中的应用具有很高的价值。