前言：

计算了两星期的RLC串联电路电流响应。算了十多张纸，总算告一段落。因纸保存不便，而且写得凌乱，故对此进行总结，同时方便以后查找，写此专栏。

正文：

第一章：基础准备

串联电路各个元件电流一样，即可用电流函数i(t)代表。已知RLC各自元件约束方程，和基尔霍夫电压定律KVL拓扑约束方程：

PS：Us为激励电压信号。

即可得RLC串联电路微分方程：

直接求解微分方程非常费神，可以参考我之前发过的专栏，其中对电容充电一阶系统的求解，极其烧脑。更何况为RLC串联电路为二阶系统。此处使用拉普拉斯变换求解（复平面分析）：

PS：此处设初始能量为0，若含有初始能量见文后“零输入响应”。

I(s)为电流经过拉式变换后的函数，Us(s)同理。G(s)称之为【传递函数】，传递函数反映了RLC系统的本征特性，搞懂传递函数即搞懂RLC串联系统。

为了方便后续计算，此处对传递函数的形式进行如下调整：

图中用ωn代表系统固有振荡频率，对谐振有了解的应该看得出这和计算谐振频率的公式高度相似。ζ是阻尼比，它的值决定者系统是欠阻尼、临界阻尼还是过阻尼。随着ζ不同取值，其电路响应方程也将发生改变。后文讨论中，若方程适用范围与ζ值有关，将予以标注。传递函数分母中的p1、p2则为系统的极点，其代表着系统的响应。下文将对p1、p2进行求解，只需用到初中知识即可：

请记住不同ζ下的p1、p2的值，后面计算响应时要用到。

除了求解传递函数，还需要对一些基本的电压信号函数作拉普拉斯变换，以求得Us(s)：

G(s)和Us(s)已知，便可求解I(s)了，下一章求解零状态响应。

第二章：零状态响应

一、冲激响应

通过冲激响应，可以快速检查系统是否稳定（是否会自激）。对于有源系统特别重要，只是说RLC串联电路是无源系统，是不可能自激的。值得注意的是，冲激信号δ(t)的拉氏变换就是1，即冲激响应就是传递函数G(s)本身。

在欠阻尼式子中出现ωd，这是阻尼振荡频率，比固有振荡频率低。阻尼比ζ越接近1，阻尼振荡频率越低，阻尼比为1时频率就变成0了，即不振荡了。

二、阶跃响应

阶跃信号相当于突然给电路接入直流电，可以观察系统从一个状态切换到另一个状态时的响应情况。

三、正弦响应

正弦响应是RLC串联电路的重头戏，在正弦激励下，如果频率和谐振频率接近，则会发生串联谐振。由于计算量巨大，精力以及研究重点原因，此处仅分析欠阻尼系统的正弦响应。过阻尼和临界阻尼暂不研究。

为了进一步简化表达式，对式子进行稍作修改：

可见电流最终振幅和中括号外的因子“Ω/LωnΓ”有关。按照高中的知识，对因子进行求导，因为导数为零的点即为极值点（不一定），令导数为零并求出对应的Ω值与以及因子的极值：

可见当外界激励频率为ωn时（因为Ω=ω/ωn），电流将达到最大值，峰值和品质因数Q有关（更直观地说和电阻呈反比），品质因数越高电流越大。谐振频率等于固有频率ωn，与阻尼比无关。这里提一句，对比本计算结果和一些别的模型如机械弹簧振子计算结果会略有不同。弹簧振子的共振频率（谐振频率）并不等于固有频率，而是略低于固有频率，与阻尼比有关。这里并无算错，而是计算对象不同。机械弹簧振子默认算的是弹簧振子位移，对应与RLC系统的电容电压。此处计算的是RLC系统的电流，应对应弹簧振子的速度。

一些补充：

第三章：零输入响应

零状态响应是系统初始能量为0时，外界对其进行激励产生的响应。而零输入响应则是外界激励保持0，仅由系统自身初始能量产生的响应。由于初始能量总会耗完，所以在时间t→∞时，零输入响应必归零，系统仅存在零状态响应，在研究系统稳定后的情况可以忽略零输入响应而只求解零状态响应。然而要研究t在0之后的暂稳状态时，必须求解零输入响应。

此时需要倒退回第一章，微分方程处开始。在进行拉普拉斯变换时说了个前提条件：设初始能量为0。现在设初始能量不为0，反而外界激励电压Us设为0，重新进行拉普拉斯变换：