在高中数学里，求数列的通项公式一直是考察的重点，而通过递推公式求通项公式也是重中之重，下面对一类已知递推求an的题型进行研究总结。
我们知道递推公式即为数列相邻几项间的一个关系，例如等差数列的递推公式，由定义有：
由于等差等比相邻项间的特殊关系(相邻两项系数或指数互为相反数)，碰到此类递推运用叠加叠乘法即可求出通项公式，但我们还经常见这种式子
这时我们引入了“构造法”，两边同时＋1得
学校老师一般只会说观察、试数字、猜就出来了。
可是，为什么呢？
瞎蒙乱猜显然不是我们想要的，我们不妨探究它的一般解法，将上式一般化，即
我们将这个式子称为“一阶线性齐次递推关系”
相邻两项即一阶，三项即二阶，以此类推
线性即为一次函数类型，只有系数的存在
对于这个式子学校讲过一般方法：构造等比数列＋待定系数，下面进行操作
由此得到了此种情况的一般公式，大家可以观察比较系数中λ和原式间有没有什么关系？这里先按下不表。
那么更高阶的数列呢？依然可用这种做法。
下面是二阶线性齐次递推关系一般形式
依照一阶做法构造辅助数列进行操作，不难得到
这个时候运用等比数列求出的公式为
变成了一阶递推公式，观察到二元二次方程组，则可能出现两组解，两种情况进行讨论
1°方程组有两组根时：
好生麻烦的式子!我们还需要求出两组解
对于解题来说，这确实太麻烦了，有没有简便一点的方法呢？那是自然的，注意到式子中的t与λ均由原始条件p与q确定，只需求出一个便可利用待定系数求出剩余的未知量。
接下来我们来研究t，仔细观察这两个式子
系数竟然一样？!
于是我们将原始二阶递推的“a”按阶数分别换成t² t t^0即可解出t，然后应用待定系数
其中t1,t2已经解出，只需将c1,c2解出即可得到an的通项公式。
如此简单!先来一个高中数列常客杀杀熟试试水吧
我们来求一求它的通项公式
简直如同探囊取物。
可是，疑惑来了，为什么？为什么要换成t²和t？
我们回到上文中“按下不表”的部分，重新观察一阶递推里的两个式子。
为什么令an＝an-1就能解出λ？接下来介绍两个引理
实际上我们令an＝an-1就是在寻求函数an的不动点，那么找到了不动点，根据定义则其一定能使得f(x0)-x0＝0，再有因式定理，即可将原递推公式分解成我们需要构造的等比数列形式中的其中一个因式，而这个x0也就是我们待定系数中的λ，又由于an和an-1为相邻两项，所以最后构造出了等比数列。其中代入不动点得到的方程也叫做特征方程，解得的根也叫做特征根。
对于二阶递推亦然同理，只是不动点的寻求也上了阶数变成了二阶不动点，感兴趣可做研究。
最后我们将二阶递推中第二种情况讨论完，若只有一组解
对于任意高阶线性齐次递推，均可利用特征方程＋待定系数进行通项公式的求解，解决并吃透高考中的一大难题，也让我深刻认识到了待定系数法的强大和精妙。
另附三阶递推手写草稿，仅供探究
参考文献
初中数学教材（人教版）．人民教育出版社．2013年06月
百度百科 张石生, 康世焜. 不动点理论及其应用[D]. , 1984.
知乎 【数列】浅谈“不动点”
谢建宏 浙江舟山中学,316021 高阶线性递推数列通项公式的初等证明