数系的扩充和复数的概念_高中数学知识点总结

数系的扩充和复数的概念
知识点详情
数系的扩充和复数的概念知识点包括复数的概念、复数的分类、复数相等、数系扩充的脉络、虚数单位i性质的两个关注点、实部与虚部的要求等部分，有关数系的扩充和复数的概念的详情如下：复数的概念 1．复数与复数集我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi\|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的代数形式复数通常用z表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的实部与虚部．复数的分类 (1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数，当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数． (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示：复数相等 a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d. 数系扩充的脉络自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系虚数单位i性质的两个关注点 (1)i²＝－1的理解：并没有规定i＝还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i，但不能说i＝±. (2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致．实部与虚部的要求若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部．
典型例题
【第1题】　　分别指出下列复数的实部和虚部． 3＋2i，－i，－3i＋5，，－5i，i^2,0. 查看答案解析【第2题】　　给出下列几个命题： ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为 . 查看答案解析【第3题】　　已知复数z＝＋(a²－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．查看答案解析【第4题】　　已知m∈R，复数z＝＋(m²＋2m－3)i，当m为何值时： (1)z∈R；(2)z是虚数； (3)z是纯虚数；(4)z＝－4i. 查看答案解析【第5题】　　已知+(x²－2x－3)i＝0，求实数x的值．查看答案解析【第6题】　　已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．查看答案解析【第7题】　　若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 查看答案解析【第8题】　　若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件查看答案解析【第9题】　　复数4－3a－a²i与复数a²＋4ai相等，则实数a的值为(　　) A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4 查看答案解析【第10题】　　在复平面内，复数z＝(a²－2a)＋(a²－a－2)i是纯虚数，则实数a的值是(　　) A.a＝0或a＝2 B.a＝0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 查看答案解析