复数的发展史

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从复数最初被人们所发现, 到复变函数基本理论的建立, 大约经历了近 300 年的历程. 期间充满了困惑、怀疑, 甚至敌意。

意大利数学家卡尔达诺 (G. Cardano, 1501-1576) 在 1545 年出版的《大术》一书被公认为是第一本引入复数概念的数学专著。然而创新者本人在这本著作中就给复数戴上了一顶“既不可捉摸，又没有用处”的帽子，预示着出生后的复数将是命运多舛。

1572 年，意大利另一位数学家邦贝利 (R. Bombelli, 1526-1572) 出版的《代数学》一书，第一次定义出复数的代数运算，但又否定说“所有这些似乎是以诡辩而不是真理为基础的”。那时复数被称为“不可纯数”或“虚数”。 不幸的是后者一直沿用至今。

所有这些困惑和麻烦皆指向“什么是复数”这一带有根本性的问题。

直到 18 世纪末、 19 世纪初，挪威的测量学家韦塞尔 (C. Wesel, 1745-1818)、瑞士人阿尔冈 (J. R. Argand, 1768-1822) 和德国数学家高斯 (C.F.Guass, 1777-1855)先后互相独立地给出复数的几何表示。

在直角坐标系下, 横轴上取点 x, 纵轴上取点 y, 且分别做垂直于该坐标轴的直线, 它们的交点表示复数 x + iy. 像这样表示复数全体的平面称为“复平面”，特别地，高斯还把复数看作是从原点出发的向量，并利用复数与平面向量的一一对应的关系，进一步给出复数的加倍和乘法的几何表示。

至此复数被揭去神秘的面纱，有了立足之地。人们开始承认复数是实实在在的数，不再是虚无缥缈的虚幻之数。复数及复变函数理论的发展开始进入快车道。

1814-1851 年间经过法国数学家柯西 (A.L.Caucby, 1789-1857)、德国数学家黎曼 (G.F.B.Riemann, (1826-1866)) 和魏尔斯特拉斯 (K.T.W.Weierstrass, 1815-1897)等人的巨大努力，复变函数形成了非常系统、完整的基本理论。

今天复变函数理论仍在发展，同时也渗透到代数学、数理、微分方程、概率统计等其他数学分支，在电学、弹性力学、理论物理、天体力学等领域得到了广泛的应用，已成为从事自然科学工程技术的人才必须具备的数学知识。

复数的数学表示

设 x，y 为两实数，称形如z = x + iy (或 x + yi)的数为复数, 这里 i 为虚单位。x 与 y 分别叫做 z 的实部与虚部,常记作 x = Rez; y = Imz. 虚部为零的复数为实数, 简记为 x + i0 = x. 因此, 全体实数是复数的一部分。特别记 0 + i0 = 0, 即当且仅当 z 的实部和虚部同时为零时，复数 z 为零。实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数。如果两复数的实部和虚部分别相等, 则称两复数相等。

本文节选自哈尔滨工业大学数学学院包革军、邢宇明、宋威、凌怡老师编写的《复变函数与积分变换简明教程》略有删改，感谢原作者。

新 书 书 讯

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内容简介

工程数学中复变函数与积分变换是理工科院校学生继工科数学分析课程之后的又一门数学基础课。通过本课程的学习，不仅能学到复变函数与积分变换中的基本理论及工程技术中的一些常用数学方法，同时还可以巩固和复习工科数学分析的基础知识，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识而奠定必要的数学基础，为此我们按照教育部关于课程改革的精神，结合多年从事同名课程的教学实践，并参照原国家教育部工科数学课程教学指导委员会最新修订的“工科类本科数学基础课程教学基本要求 (修订稿)" 编写了这本复变函数与积分变换简明教程。

本书是国家工科数学教学基地之一的哈尔滨工业大学数学系教师团队结合多年的教学实践和研究而编写的系列教材之一。 全书共 7 章，包括复数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、傅里叶变换、拉普拉斯变换。每章后精心设计了适量的习题，并在书末附有参考答案。

本书可供高等工科院校的电类及与电类有关的各专业使用，也可供其他复变函数与积分变换课程少学时要求的各个专业选用，此外，可作为工程技术人员自学复变函数与积分变换的参考书。

本书特点

(1) 将复变函数与积分变换的内容有机地结合在一起，既保证了教学质量的提高，又适当压缩学时数。完成本书的全部教学内容需要 40 学时。其中复变函数部分 (前五章) 可讲授 30 学时，积分变换部分 (后两章) 可讲授 10 学时。

(2) 重视对学生能力的培养，注意提高学生的基本素质。对基本概念的引入尽可能联系实际，突出其物理意义；基本理论的推导深入浅出，循序渐进，适合工科专业的特点；基本方法的阐述富于启发性，使学生能举一反三、融会贯通，以期达到培养学生创新能力的目的。

(3) 为提高本书的趣味性和可读性，力求语言通俗易懂、简洁流畅。从有利于学生掌握所学的内容，提高分析问题、解决问题的能力出发，在每章中配有较多的例题，供学生参考，教师讲授时做适当取舍，不必全讲。全书在章末精心设计了适量的习题，书末附有习题答案。

图书目录

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前言

第 1 章 复数

1.1 复数的发展史及四则运算

1.2 复数的几何表示和开方

1.3 复平面上的点集

习题 1

第 2 章 解析函数

2.1 复变函数

2.2 Cauchy-Riemann 方程

2.3 调和函数

2.4 初等函数

习题 2

第 3 章 复变函数的积分

3.1 复变函数积分的概念

3.2 柯西积分定理

3.3 柯西积分公式

习题 3

第 4 章 级数

4.1 复变函数项级数

4.2 幂级数

4.3 泰勒级数

4.4 洛朗级数

习题 4

第 5 章 留数及其应用

5.1 孤立奇点

5.2 留数

5.3 留数在定积分计算中的应用

习题 5

第 6 章 傅里叶变换

6.1 傅里叶积分与傅里叶积分定理

6.2 傅里叶变换与傅里叶逆变换

6.3 单位脉冲函数

6.4 广义傅里叶变换

6.5 傅里叶变换的性质

6.6 卷积

习题 6

第 7 章 拉普拉斯变换

7.1 拉普拉斯变换的概念

7.2 拉普拉斯变换的性质

7.3 拉普拉斯逆变换

7.4 拉普拉斯变换在解方程中的应用

习题 7

习题答案

参考文献

附录

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