求推荐一本泛函分析的教材适合工科初学者?

这玩意的前置课程是数学分析和高等代数，工科的话，题主八成也没学过。可参看孙炯的《泛函分析》，主要是有配套的公开课可以看。不过作为理科出身的过来人，一点经验是，不懂数分和高代，泛函纯粹就是一堆名词，对实际科研起得作用有限。可能还不如好好学点矩阵的东西。下附几本我主要的参考书，有些可能只能找到电子版。

2022-11-09新增：这本《现代分析及其应用教程》非常友好地从数分过渡到泛函入门，数分基础好的读起来会非常顺畅。适合数分提高或者泛函入门！这本也是个人最喜欢的教材之二（另一种是下面Joseph Muscat的黄皮）。

2022-11-07新增：最近又在B站找到一个面向工科的泛函分析入门。应该是我所学过的最适合工科入门的视频。

2022-6-7补

这本应该挺符合题主的要求的。相对而言，对前置知识要求较少，当然深度就不如后面的基本了。但是这类视角对数学专业的也有益处。

2022-05-30补

Joseph Muscat这本泛函分析，是我所翻看过的数十本教材中最具有启发性的，相见恨晚。

正如作者前言里所说，本书的目的是填补本科泛函与研究生泛函之间的gap，作者想要做到证明的严格与论述的启发性之间的平衡。在我看来完成得不错，概念的引入上花费了些心思，尽可能让读者觉得自然而然。挺适合非数专业和工程人员食用。不过需要指出的是，本书依然需要读者有数学分析的背景。

另外，附上一个本人收集的泛函入门书籍书单：

2021-10-07补

近半年也看了些书，发现了也许是最适合工科的泛函书应该是柳重堪的《应用泛函分析》，而且还有相应的公开课，《力学中的泛函分析与变分原理》。下附了B站的链接，课程的评论区有教材的资源。老师讲课的方式，很工科，看完就会对泛函有大概的了解。和孙炯老师的课参照着看，效果可能更好些。

推荐胡适耕的《应用泛函分析》，偏向理工科（非数学专业）的学生。

还有郭大钧，刘炳初，江泽坚，张恭庆（难度依次递增）的泛函分析也可以参考一下，都是数学专业用的泛函分析。

国外的泛函分析教材已有很多大佬推荐了。。。

“工科生的实变函数与泛函分析”系列目录

• 工科生的实变函数与泛函分析（一）——实变函数
• 工科生的实变函数与泛函分析（二）——泛函分析

1. 什么是泛函，为何要引入泛函

本文主要面向学工科的了解泛函分析中的概念，以及为什么要提出这些概念，而不涉及具体公式的推导证明。如果需要详细了解泛函分析的各种定理及推导，对于工科生，我个人推荐大连理工大学郭旭院士的泛函分析课程，b站视频链接为： 《力学中的泛函分析与变分原理-郭旭》。

在以前的学习中，我们都是以“数”作为自变量进行研究，例如假设自变量 x\in X ，其函数曲线如下图所示

那么我们可以比较容易地通过以前学过的方法求得该函数在定义域 X 下的最大值，并知道函数取最大值时自变量 x 的取值。

那么现在，假设有这么一个公式：

F(f) = \int_a^bf(x)+f'(x)+xdx \\假设其图像长下面这样：

我们不是求在 x 取某个值的时候 F(f) 能够取得最大值，而是需要求当函数 f\in\mathcal{F} 是什么函数时 F(f) 能够取得最大值。换而言之，泛函分析只不过是把研究对象从以前的“数”变成了现在的“函数”。在本案例中， F:\mathcal{F}\to\mathbb{R} 就被称为泛函，其能够将函数映射到某个数域上。

当然，通过泛函分析求“最大值”只是其一种应用，我们学习泛函分析时还会遇到其他各种问题，如收敛性、连续性等。那么，我们要如何研究这些概念呢？

2. 如何定义一个函数

古往今来，人类大部分情况下在第一次面对陌生的事物，都会先从熟悉的事物开始，通过已知的事物去认识、去理解未知的事物。在文学上，这种做法被称为“类比”。

泛函分析，无非就是把以前“数”的概念都搬到“函数”上来。点与点之间有距离的概念，那我们也可以定义函数与函数之间距离的概念；向量与向量之间有夹角、有正交的概念，那我们也可以定义函数与函数之间有夹角、有正交的概念；某个序列能够收敛到某一点，那我们也可以定义某个函数序列能够收敛到某个函数。总而言之，我们就是把“数”中一些熟悉的概念搬到了“函数”上，用以前研究“数”的思路去研究“函数”的各种性质。

2.1 第一步：把空间广义化

在以前的“数”中，我们都是通过空间中一个一个的点来表示这些“数”的。例如，在三维空间下，一个点能被我们用三个坐标值来表示。因此，自然而然的想法是，我们能否通过空间中的一个一个点来表示“函数”呢？答案是当然可以，但是，能够用点表示”函数“的空间又该如何定义呢？本小节中，我们将以前的欧几里德空间广义化，从而引出了“空间”的概念。

满足某种性质的集合在一起构成了一个空间，而该集合中的元素被称为该空间中的点。举一个例子，我有一个集合 A=\{ 1,2,3,4,5 \} ，然后在集合 A 中，我定义了加法，即我规定集合 A 中的任意两个元素都可以两两相加，那么我就可以称这是集合 A 的一个加法空间，而 1 、2 、3 、4 、5 就是该空间上的五个点。也就是说，满足“加法”性质的集合 A 构成了一个“加法”空间。

又例如，二维实数集 \mathbb{R}^2 能够构成一个二维欧几里德空间，也就是说这个集合能够有“加减法”、“向量”、“面积”等满足“二维欧几里德”性质的概念。

值得注意的是，我们没有非得通过数组成的集合构成空间。例如，我们也可以定义集合 B=\{蓝色,红色,绿色\} ，然后定义加法和数乘。例如数乘：“ 0.5\times 蓝色=淡蓝色 ”，例如加法：“ 蓝色+红色+绿色=黑色 ”。你可以说它们构成了一个颜色空间。这一思想也为后面如何通过空间中点定义函数提供了一些帮助。

空间具有封闭性的概念。什么是封闭性呢，我们再以上面的集合 A 的一个加法空间为例。尽管我们定义了加法，但是很明显， A 中的某些元素相加之后的结果不在集合 A 里面了。例如， 2 和 4 都在集合 A 中，但是 2+4=6 ，而 6 显然不在集合 A 中，那么我们就称集合 A 对加法不封闭，也就是说集合 A 的这一个加法空间不具备封闭性。

在以前学过的集合中其实就有封闭性的概念了，但只是当时我们学这些集合的时候没有往这个方向去想。例如，自然数集对加法封闭，但是对减法不封闭，于是就有了整数集；整数集对加减法封闭，但是对除法不封闭，于是就有了有理数集；有理数集对加减乘除封闭，但是对柯西数列极限不封闭，于是有了实数集；实数对开根运算不封闭，于是有了复数集。

这里，我将对“有理数集对加减乘除封闭，但是对柯西数列极限不封闭”具体说一下，因为这个涉及到空间完备性的概念。

什么叫做对柯西数列极限不封闭呢。对于有理数集 \mathbb{Q} ，假设序列 \{x_i\} = x_1,x_2,x_3,\cdots ，其中 x_i \in \mathbb{Q} ，如果对于任意 \epsilon>0 ，存在正整数 N ，使得对所有整数 m,n>N 有：

|x_m-x_n| < \epsilon\\那么就称序列 \{x_n\} 是一个有理数的柯西序列。通俗来讲就是说如果 |x_1-x_2| > |x_2-x_3| > \cdots 那么这就是一个柯西序列。

那什么叫做对柯西数列极限不封闭呢？假设有一个序列，它的第 n 个元素为取 \pi 的前 n 个小数：

\{x_n\} = 3.1,3.14,3.141,3.1415,\cdots\\很显然， x_n\in\mathbb{Q} ，且他们能够构成一个有理数的柯西序列。但是，它们的极限是 \pi ，是一个无理数： \lim_{n\to+\infty}x_n = \pi \\而 \pi 显然不属于有理数集 \mathbb{Q} ，因此我们称其对柯西序列极限不封闭。

在这个例子中，是通过 |x_m-x_n| < \epsilon 来定义柯西序列的，那么在 \mathbb{R}^2 空间中，我们可以用两点间的距离来定义柯西序列。同理，在其他空间中，我们可以首先定义距离的概念，然后同样的通过空间中的两点距离定义柯西序列，然后判断其是否对柯西序列封闭。假设这个空间对柯西序列封闭，那么我们就称这个空间具有完备性，也说这个空间是一个完备空间。

2.2 第二步：通过空间中的点定义函数

我们先回忆一下，我们是如何定义 \mathbb{R}^2 空间中的一个点的：

描述空间中的点，我们一般是通过这个点在某一坐标系下的坐标来描述的。例如，我们会首先建立一个坐标系 (x,y) ，然后定义点 a 的坐标是 (a_x,a_y) 。这个点一般通过向量表示： \overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{x}+a_y\overrightarrow{y}\\其中 \overrightarrow{x}=(1,0)^T ， \overrightarrow{y}=(0,1)^T 。类似的，对于 \mathbb{R}^3 空间中的点，我们也可以用 \overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}，\overrightarrow{z} 来表示： \overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{x}+a_y\overrightarrow{y}+a_z\overrightarrow{z}\\以此类推，对于 \mathbb{R}^n 空间，我们可以用 n 个向量表示： \overrightarrow{a}=\sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{n_i}\\这里， \overrightarrow{n_i} 被称为基向量，由这些基向量能够构成一个空间的基底。要注意的是，基向量的选取不唯一，例如在 \mathbb{R}^2 空间中，我们也可以选\overrightarrow{x}=(1,1)^T ， \overrightarrow{y}=(-1,1)^T 作为基底，也能在该组基向量中通过某个坐标表示同一个点 a 。

既然“数”能够在空间中被这样定义，那么“函数”能否通过相同的方式来定义呢？例如对于函数 f ，我们能否这样定义： \overrightarrow{f}=\sum_{i=1}^n f_i\overrightarrow{n_i}\\如果要这么定义，那么这个空间下基底 \overrightarrow{n_i} 又该是什么呢？回想一下，对于函数，我们有各种展开式，以泰勒展开式为例： f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\ 其中 x_0 为函数 f 在定义域上的某个点。对比一下，发现两个式子是不是挺像的。假如 x_0 确定了，那么可以令 f_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} 是一个常数， \overrightarrow{n_k(x)}=(x-x_0)^k 是一个关于 x 的函数。也就是说，函数 f 可表示为在空间中以 (x-x_0)^k 为基底，以 \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} 为函数坐标的一个点。同时，我们可以发现，要表示一个函数，需要可数多个基向量，因此，函数空间是一个无穷维的空间。

在泛函分析中，就是这么在空间中定义函数的，只不过，由于通过泰勒展开式的得到的基底不是正交的，泛函分析中一般会选择其他的基底来表示一个函数，例如通过傅里叶展开得到一个正交基，然后在这个基底下通过坐标定义函数。

2.3 第三步：定义距离和长度——Banach空间和 L^p 空间

有了点就能定义两点间距离的概念，有了向量就能定义向量长度的概念。要定义函数的距离，我们首先回想一下，在平面上的两个点 a 和 b 要如何定义距离？

在常见的二维欧几里德空间中，我们可以定义 a 、 b 两点之间的距离 d(a,b) 为： d(a,b)=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2}\\

这只是在几何的视角下定义的两点的距离。但是，距离的定义不是唯一的，在不同的视角下，可能可以通过不同的方式来定义距离。例如，小明考了300分，排名第15名；小红考了400分，排名第2名。我们可以说两者学习成绩上的差距（距离）是100分，也可以说两者学习成绩上的差距（距离）是13个名次。因此，我们需要广义化距离这个概念。

在“数”中，假如两个点的距离为0，那么我们就可以说这两个点是相同的。同时，我们可以发现，从点 a 到点 b 的距离应该是等于从点 b 到点 a 的距离的。而且，我们可以知道，距离应该不会有负数的存在，应该是一个正实数。因此，对于某个集合 M ，以及该集合上的任意点 a,b,c\in M ，我们可以通过以下的规则广义化距离函数 d:M\times M\to\mathbb{R}^+\cup\{0\} ：

1. 正定性： d(a,b)\ge0 且当且仅当 a=b 时 d(a,b)=0
2. 对称性： d(a,b)=d(b,a)
3. 三角不等式： d(a,c)\le d(a,b)+d(b,c)

当满足这三点的情况下，我们就能说函数 d 是一个距离函数，也叫度量函数。而集合能够被度量的，则该集合能构成一个度量空间。例如，定义距离函数： d(a,b)=|a_x-b_x|+|a_y-b_y|\\这个函数的定义也满足上面关于距离函数的性质，因此这也是一个距离函数。

而向量头尾两点之间的距离，就是向量的长度了。向量的长度不仅需要满足上面距离的三条性质，还需要满足绝对一次齐次性。对于假设 M 是域 F 上的向量空间（例如 M 是 \mathbb{R}^n ， F 是 \mathbb{R} ），那么对于任意向量 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in M ，数 m\in F ，能够通过以下的规则定义范数 l:M\to \mathbb{R}^+\cup\{0\} ：

1. 正定性： l(\overrightarrow{a})\ge0 且当且仅当 \overrightarrow{a} 为零向量时 l(\overrightarrow{a})=0
2. 对称性： l(\overrightarrow{a})=l(\overleftarrow{a})
3. 三角不等式（次可加性）： l(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\le l(\overrightarrow{a})+l(\overrightarrow{b})
4. 绝对一次齐次性： l(m\overrightarrow{a})=|m|l(\overrightarrow{a})

我们把向量的长度称为向量的范数。而具有向量长度性质的集合构成的空间，我们称之为赋范空间。而其中，有一组特殊的范数叫做 L_p 范数，其定义如下： L_p(\overrightarrow{a})=\|\overrightarrow{a} \|_p=\left( \sum_{i=1}^n|a_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}\\其中 a_i 表示 n 维向量 \overrightarrow{a} 的第 i 维坐标。很明显，欧几里得空间中定义的向量长度是一个 L_2 范数。

以上是在“数”中广义的距离和范数的概念。那么在“函数”中，我们也可以定义一个函数（作为某空间下向量）的距离和范数。假设某函数向量空间 \mathcal{F} 中的函数 f,g\in\mathcal{F} 以及其定义域为 X ，可以定义其距离 d 和范数 l ：

d(f,g)=l(f-g)=\max|(f-g)(x)|=\max|f(x)-g(x)|\\

其中 x\in X 。值得注意的是，如上文所说，这种定义距离和范数的方式不是唯一的。由于函数是无限维的，因此这样具有距离和范数的函数空间是一种无限维的赋范向量空间。而如果一个有限维或无限维的赋范向量空间具有完备性，那么我们就称这个空间是一个Banach空间。

同时，参考“数”中 L_p 范数的概念。对于函数，如果定义其范数为以下形式：

\|f\|_p=\left( \int_X|f(x)|^pd\mu(x) \right)^{\frac{1}{p}} \\其中的积分是Lebesgue积分。此处，只有当函数 f 是 p 次勒贝格可积函数时，范数才存在。我们将如此定义范数的函数空间称为 L^p 空间。该空间也是一个完备空间，所有的 L^p 空间都是一个Banach空间。

L^p 空间可以写成 L^p(X,\mathcal{F},\mu) ，其中 X 表示函数的定义域， \mathcal{F} 表示函数集合， \mu 表示Lebesgue测度，该空间中的集合都是函数。

2.4 第四步：定义内积——Hilbert空间

前面定义了距离和范数的概念，但如果只有这些概念，是无法去定义向量的正交性的，也无法很好地去判断两个向量的相似性。因此，我们需要给向量赋予夹角的概念。要定义夹角的概念，我们需要首先定义内积的概念，有了内积，我们就能得到夹角。在欧几里德空间中内积的概念我们已经很熟悉了，在“数”中，假设 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in\mathbb{R}^n ，那么我们可以定义内积： \langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\rangle = \sum _{i=1}^na_ib_i \\同样的，我们来广义化内积的概念，假设 M 是域 F 上的向量空间（例如 M 是 \mathbb{C}^n ， F 是 \mathbb{C} ），对于 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\in M ， m,n\in F 我们可以定义内积 \langle\cdot,\cdot\rangle:M\times M\to F 具有以下性质：

1. 线性性质： \langle m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\rangle = m\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{c}\rangle+n\langle\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\rangle
2. 正定性： \langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}\rangle \ge 0 ，且当且仅当 \overrightarrow{a}=0 时 \langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}\rangle=0
3. 共轭对称性： \langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\rangle=\overline{ \langle \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}\rangle} ，其中符号 \overline{(\cdot)} 表示 (\cdot) 的共轭

于是如果集合 M 中的元素满足这些性质，我们可以称之为内积空间。在内积空间中，我们能够定义范数： p(\overrightarrow{a})=\| \overrightarrow{a}\| :=\sqrt{\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}\rangle}\\同时也能定义夹角 \theta ： \theta := \arccos \frac{|\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\rangle|}{\|\overrightarrow{a}\| \|\overrightarrow{b}\|} \\

也就是说，一个内积空间必定是一个赋范空间。而如果一个内积空间（无论是有限维还是无限维）是一个完备的赋范空间，那么这个空间就被称为Hilbert空间。

因此，我们也可以参考欧几里德空间中的内积定义函数的内积（当然，这只是其中一种定义，内积定义方式不唯一）。假设 f,g\in L^2(X,\mathcal{F},\mu) ，则可令： \langle f, g\rangle := \int_Xf(x)\overline{g(x)}d\mu(x) \\为其内积。其已经被证明过是完备的，因此其就构成了一个Hilbert空间。

有了内积，我们就能去证明正交了。例如，由泰勒展开得到的基底就不是相互正交的，而由傅里叶展开的基底就是相互正交的。

2.5 小结

在本节中，我们介绍了如何从“数”的性质来“类比”出“函数”的一些性质，包括函数之间的距离、内积等概念。同时，我们也借此介绍了能够适用于无限维元素集合的空间：Banach空间、 L^p 空间和Hilbert空间。但在本节中，我没有去说明这些空间具有哪些特殊的性质和定理，毕竟这只是一篇面向工科生的科普性的文章，有兴趣的读者可以自行查找这些空间的相关内容。

linear operator theory in engineering and science

网上如B站，吴培元老师的实变函数论视频，前三章讲实变函数，后三章讲泛函分析初步。采用的教材是Friedman的，也不错。

可以试试清华步尚全老师的泛函分析基础教程，这是目前国内为数不多的工科泛函分析教程。另外步尚全老师，每年（前几年去听过）都会在清华开这门课，因此课本内容相对友好。

图灵数学统计学系列<泛函分析导论及应用>，适合我这种咸鱼