范畴论简史

范畴物理学前史

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我讲的内容包括以下几个方面，一是范畴学基础，二是张量范畴基础，三是图形演算，四是向上平面图理论基础，五是拓扑图论基础。(手头没有太多资料,凭记忆瞎讲)

先讨论范畴学。范畴本来是个哲学概念，只是到了1940年代才由麦克劳恩和艾林伯格两位数学家引入到数学中，建立了形式的严格数学理论。

艾林伯格是代数拓扑学家，麦克劳恩比他年轻，开始主要研究群的扩张问题。

他们偶然发现两个人领域中十分相似的现象，把拓扑学中的同调理论搬到了代数学中，建立了群的上同调理论。

上同调有很多自然的性质，这些性质当时并没有很好的数学语言来描述。这些性质在当时被认为是well known的。为了把这些性质说的更清楚，他们发展了范畴论。

1945年，他们的文章“自然等价的一般理论”发表，标志着范畴论的诞生。

范畴论建立之初，被数学界称之为一般抽象废话，嘲讽其并无任何实质性意义,其发表也是费了一番周折。到现在为止，美国数学会还不承认范畴学是一个数学分支。

范畴的概念其定义并不难，或者说非常自然。人人都知道的范畴就是集合范畴，它只是对高中数学映射理论的概括而已。

一个范畴 C 由三类数据构成，一类是对象数据 Ob(C) ，一类是态射数据 Mor(C) ，还有一类是态射之间的复合结构 \circ:Mor(C)\times_{Ob(C)}Mor(C)\rightarrow Mor(C) 。以集合范畴 Set 为例，它的对象数据就是 所有的集合，用范畴论的术语讲，一个集合就是集合范畴中的一个对象。集合范畴的态射数据就是就是集合之间的映射，两个集合的一个映射，用范畴论术语来说就是集合范畴中两个对象的一个态射。映射的复合和集合的恒同映射分别称为集合范畴中的态射的复合和对象的恒同态射。复合运算和恒同态射构成第三类数据。

把集合范畴进行抽象化, 形式化和公理化，很容易就得到范畴的数学定义。 集合类数据 替换为 对象类数据， 映射类数据 替换为 态射类数据，映射的复合和恒等映射 替换为 态射的复合和恒等态射。

从某种意义上，事实上也是最初的动机，就是把一个工作平台抽象化为一个数学概念，范畴,并最终定义理论的自然性。很多理论的工作平台都有相似的特征，因此就决定了范畴概念外延的普遍性。

范畴概念外延的普遍性是显然的，然而其内涵的深刻性是在几十年的发展中逐渐被认识的(拓扑空间同调论的公理化,同调代数的建立和公理化,代数几何的现代化,同伦论的公理化等等都离不开范畴的语言) 。

范畴既是一个全新的数学概念（一种新的代数结构），也是一种全新的形式语言，具有自己独特的语法结构和说话方式。

范畴学的表达方式，新颖之初在于它的图示化描述，它把对象用点描述，把态射用箭头或定向边来描述，对象作为箭头或定向边的起点（源）和终点（靶）。而态射的复合，则用箭头的复合或定向边的复合来描述。因此，范畴有一个图论的描述，其实它就是一个带有代数结构（复合+单位态射）的箭图（quiver）或定向图（directed graph）。

箭图和定向图是熟知的数学对象，但是它们之上的代数结构（复合和单位态射）只有范畴概念建立起来之后，才受到重视。可以说，范畴就是代数封闭的箭图（定向图）。

所以，范畴学兼有代数学和图论的特点。

Q: 最重要的是这种代数结构，图论描述只是一个形象的解释？

A: 代数结构和形象描述都重要, 代数结构是内容，形象描述是形式。但是内容的性质和规律都在形式里了。代数结构是定义，但是这个定义有什么性质，什么规律，可以代数地去证明。但是，如果我们有了图示的描述，很多规律一目了然。就像莱布尼茨发明的微积分符号，很多规律都在符号里了。

有了范畴的定义，下一步就是考虑范畴之间的同态。因为范畴本身就是一个代数结构，可以考虑它们之间的同态(在数学的结构主义观点中,同态就是保持结构的关联)。范畴的同态要保持三类数据结构，和三类数据结构的关系。范畴的同态叫做函子。范畴由三类数据结构，函子也有三类数据结构，一是对象类的映射，一是态射类的映射，这两类数据要相容，即要保持态射的起点和终点（保持范畴的图论结构）。再有一类数据结构是要保持态射的复合结构和单位态射（保持范畴的代数结构）。

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范畴论和数学的结构主义,数学基础等问题关系密切

数学结构主义的研究主体是结构，结构主义者主张数学是关于结构的学科，结构的阐述方式可以解释数学分支及其内容。因而，如何表达数学结构就成为数学哲学领域关注的焦点，范畴论正是基于对数学结构的阐释被提议为数学基础。

根据布尔巴基学派（BourbakiSchool)，数学结构通常意味着一个对象的域，在这个域中存在着某些函数或关系，并且这些函数和关系满足一定的条件。显而易见，数学中常见的群、环、场都属于数学结构的范畴。

结合布尔巴基学派对数学结构的定义可知，范畴表述的正是数学结构。换言之，只要满足了范畴的定义，必定表述了某种数学结构。此外，范畴通过对象和态射的语言对结构作了统一的阐释。

范畴论与数学结构主义的结合产生了范畴结构主义的研究进路，这与传统的数学研究方法截然不同，是探索数学基础研究的新方向。范畴论是对象和态射的语言，范畴是由态射决定的，从本质上来讲，范畴处理的都是关系，无论是结构中对象的关系，还是同构的结构及不同结构之间的关系。范畴论的主要概念态射、同构、函子及自然变换等体现了范畴论对数学结构阐释的充分性。范畴论从一开始就是一种关系主义, 忽略了结构主义, 但慢慢发现它是最适合于结构数学的框架. 布尔巴基虽然一直强调结构主义,但是自始至终都忽略了关系主义,从根本上, 布尔巴基是集合主义.

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学习范畴学,不得不了解一点结构数学的思想.对于初学者推荐一本嘉当的科普书:

偶然得到一本难得中文范畴论的教材, 向作者表示敬意:

待续