拓扑优化中过滤与投影
拓扑优化中时常会伴随着网格依赖性、棋盘格以及灰度单元过多等现象。网格依赖性一般是指优化构型中的最小尺寸依赖于有限元网格；棋盘格现象是指优化构型中实体和空洞交替出现而呈现出如“棋盘格”；灰度单元过多则会导致优化构型中实体与空洞交界处模糊不清，影响材料识别。所以为了得到如图3那样清晰的优化构型，目前最常用的解决方法是先通过过滤（灵敏度过滤或密度过滤），但是灵敏度过滤或密度过滤会导致实体与空洞交接处灰度单元增加，所以再通过Heaviside投影能得到清晰的优化构型，如图1所示。
灵敏度过滤
灵敏度过滤技术是最早为了解决拓扑优化结果中的棋盘格现象和网格依赖性而提出来的，其表达式如下所示：
\frac{\tilde{∂C}}{∂x_e}=\frac{1}{(x_e \sum_{f=1}^{N}{W_e} (x_f))}\sum_{i=1}^{N}{W_e(x_f)\frac{∂C}{∂x_f}}\\
其中
密度过滤
密度过滤的思想与灵敏度过滤相似，是直接对单元的密度进行处理。其表达式如下：
Heaviside 投影
总结
[1] Sigmund O. Design of Material Structures Using Topology Optimization 1994.
[2] Sigmund O, Petersson J. Numerical instabilities in topology optimization: A survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima. Struct Optimization 1998;16:68-75.
[3] Lazarov B, Wang F, Sigmund O. Length scale and manufacturability in density-based topology optimization. Arch Appl Mech 2016;86:1-30.