范畴论学习笔记15：自然变换
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学习材料： Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。这份笔记对应的是第 20-21 章。
自然变换（natural transformation）在范畴论中具有十分重要的位置。我们先从它的一个特例，自然同构（natural isomorphism）谈起。
假设我们有一对平行函子 \mathscr{C}\rightrightarrows^{F}_{G}\mathscr{D} 。从范畴论的角度来看，这两个函子什么时候可以被视为“是一样的”呢？
\mathscr{C} 的两个像可以十分不同。但我们至少可以确保，如果存在一套 \mathscr{D} 同构映射 \psi （\psi_A:FA\rightarrow^\sim GA; \psi_B:FB\to^\sim GB 等等，从而确保 FA\cong GA, FB\cong GB 等等）的话，对对象应用 F 和 G 可以得到上至同构（up to isomorphism）的相同结果。
对于这样的一套同构 \psi ，和箭头 f:A\to B ，存在从 FA 到 FB 的箭头 Ff ，还有 \psi_B^{-1}\circ G f\circ \psi_A 也是从 FA 到 FB 的箭头。我们还应要求这两个箭头是相同的箭头，即 \psi_B\circ GF=GF\circ \psi_A 。这样的话就可以确保 F 和 G 对箭头 f,f',f'',\dots :A\to B 进行应用之后，会有一对一的 Ff,Ff',Ff'' 和 Gf,Gf',Gf'' 之间的照应关系。因此，我们定义平行函子的同构如下：
定义99（自然同构）
设 \mathscr{C} 和 \mathscr{D} 是范畴， \mathscr{C}\rightrightarrows^{F}_{G}\mathscr{D} 是协变函子（对偶地，逆变函子）。假设对于每一个 \mathscr{C} 对象 C ，存在一个 \mathscr{D} 同构 \psi_C:FC\to^\sim GC ，那么 \psi ，即箭头 \psi_C 的家族/科（family），被称为函子 F 和 G 之间的自然同构，如果对于每一个 \mathscr{C} 箭头 f:A\to B （对偶地， f:B\to A ）来说，下面的自然正方形（natural square）在 \mathscr{D} 中是可交换的：
在这种情况下，我们将其标记为 \psi:F\Rightarrow^\sim G ， \psi_C 被称为 \psi 的构件（component）。如果存在这样的自然同构， F 和 G 被称为自然地同构（naturally isomorphic），我们记为 F\cong G 。
为什么叫“自然同构”？Eilenberg 和 Mac Lane 给出了下面的例子：
考虑一个实数域 \mathbb{R} 上的有限维度向量空间 V ，以及对偶的线性函数 f:V\to \mathbb{R} 的空间 V^* 。我们可以发现 V 和 V^* 是同构的，两个空间之间存在双射线性映射。
证明思路：为 V 取基[底]（basis） B=\{v_1,v_2,\dots,v_n\} ，定义函数 v_i^*:V\to\mathbb{R} 为 v^*_i(v_j)=\begin{cases} 1,\ \text{if}\ i = j\\ 0,\ \text{otherwise} \end{cases} . 那么 B^*=\{v_1^*,v_2^*,\dots,v_n^*\} 是 V^* 的一个基。取 \varphi_B(v_i)=v_i^* 可以得到同构 \varphi_B:V\to V^* 。
同构取决于基 B 的选择。没有任何一个选择比另一个选择更为“自然”。因此，没有任何一个同构 \varphi_B:V\to V^* 要比其他同类的同构更为自然。
但如果我们取 V 的双对偶（double dual） V^{**} ，即泛函数 g:V^*\to \mathbb{R} 的空间。如果为 V 选择基底，定义以 B^* 为基的V^* 如前，进一步定义以 B^{**} 为基的空间 V^{**} 。我们就可以通过将 B 中的元素映射到相应的 B^{**} 的元素上，来构建从 V 到 V^{**} 的同构。这个时候，我们就不必要担心最初基底 B 的选择了。我们设定 \psi_V(v)(f)=f(v) ，那么 \psi_V 就是一个同构。
我们可以“很自然地”说这种同构不是内在的，对于涉及到的具体空间来说不是自然的。但在 V 和 V^{**} 之间有着一个通过通用的过程生成的“自然”的同构，适用于任何合适的向量空间。
这种自然同构可以使得下面的范畴图可交换：
设双对偶函子为 DD ，平凡函子为 1 . 我们可以将上图重新画为：
也就是说，我们可以得到自然同构 \psi: 1\Rightarrow^\sim DD 。两个空间中的“自然”同构，现在可以用函子之间的同构来表示。
- 自然同构包括平凡的恒等/单位（identity）函子之间的同构，如 1_F:F\Rightarrow^\sim F
- 平凡单位函子和逆群函子 Op(G)=G^{op}:\sf Grp\to Grp 之间也构成一个自然同构 \psi: 1\Rightarrow^\sim Op
- 对于将集合 X 映射到 X 的元素的有限列表的集合中的函子 List\sf: Set\to Set ，自然同构 \rho:List\Rightarrow^\sim List 的构件 \rho_X:List(X)\to List(X) 可以把一个 X 集合的元素构成的列表镜像翻转。
对象之间的自然/非自然同构
定义100
对于函子 F,G:\mathscr{C\to D} 和一个 \mathscr{C} 对象，我们说在 A 中， FA自然地和 FB 同构（FA\cong GA ），只要 F 和 G 是自然同构的。
一些结果：
定理105
对于函子 F,G,H:\mathscr{C}\to\mathscr{D} ， \mathscr{C} 对象 A ，以及函子 K:\mathscr{B\to C} ，那么
- 如果在 A 中，自然地， FA\cong GA ，那么对于所有 \mathscr{C} 中的 A' ，在 A' 中，自然地， FA'\cong GA' 。
- 如果在 A 中，自然地， FA\cong GA ， GA\cong HA ，那么在 A 中，自然地， FA\cong HA 。
- 如果在 A 中，自然地， FA\cong GA ，那么在 \mathscr{B} 的 B 中，自然地， FKB\cong GKB 。
将自然同构的概念加以推广，我们就得到了自然变换：
定义101（自然变换，natural transformation）
设 \mathscr{C} 和 \mathscr{D} 为范畴，\mathscr{C}\rightrightarrows^{F}_{G}\mathscr{D} 是协变函子（对偶地，逆变函子）。假设对于每一个 \mathscr{C} 对象 C ，存在一个 \mathscr{D} 箭头（而不是同构！） \alpha_C:FC\to GC ，那么 \alpha ，即箭头 \alpha_C 的家族/科（family），被称为函子 F 和 G 之间的自然变换，如果对于每一个 \mathscr{C} 箭头 f:A\to B （对偶地， f:B\to A ）来说，下面的自然正方形（natural square）在 \mathscr{D} 中是可交换的：
在这种情况下，我们将其标记为 \alpha:F\Rightarrow G 。
自然同构就是一个两个构件都是同构的自然变换。
总而言之，函子 \mathscr{C}\rightrightarrows^{F}_{G}\mathscr{D} 之间的自然变换将（部分或全部） \mathscr{C} 的 F -像映射到 G -像上。至少保存原来结构中的箭头复合。我们可以将这个情景记为：
自然变换本质上是一系列来源不同的箭头，每对箭头确保图可交换；椎体则是来源相同的一系列箭头。因此，我们可以将椎体视为自然变换的特例。
自然变换箭头，通常用 \Rightarrow 来表示，有两个复合方向：垂直和水平。我们先从垂直复合看起：
自然变换的垂直复合（vertical composition）
假设我们有三个函子 F, G, H:\mathscr{C\to D} ，以及两个自然变换 \alpha: F\Rightarrow G, \beta: G\Rightarrow H 。我们可以将这两个自然变换复合为 \beta\circ \alpha : F\Rightarrow H （按构件，compoinentwise 定义： 对于所 \mathscr{C} 中的对象 A，(\beta\circ \alpha)_A = \beta_A\circ \alpha_A ）。将两个自然可交换正方体垂直地粘在一起，就构成了一个更大的可交换正方体，其中对于任何 \mathscr{C} 箭头 f:A\to B ，下面的正方体在 \mathscr{D} 中是可交换的：
复合前：
复合后：
自然变换的水平复合（horizontal composition）
函子+自然变换复合：
也可以在自然变换的右侧加上一个函子进行复合。
定理107
在一个自然变换的左侧或右侧延伸出（to whisker）一个函子，可以得到一个新的自然变换。
自然变换之间的复合：
在 X 处， \beta * \alpha 的取值是 \beta_{GX}\circ J \alpha_X 。
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