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【驯服复杂#7】网络是理解复杂世界的“钥匙”

UnclePing平叔

SIMPLEXITY：驯服世界的复杂性！

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最近在与家里小盆友一起看日本著名绘本画家安野光雅的《走进奇妙的数学世界》时，被其中一道“哥尼斯堡七桥问题”给难住了。

18世纪初，位于普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，人们在河上修建了七座桥，把两个岛与河岸联系起来。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，如果依次走一遍将会是很大的工作量。所以，在相当长的时间里，始终未能得到解答。于是大家去请教年轻的数学家欧拉。

网络是理解复杂世界的关键

欧拉在研究一段时间之后，将两个对岸与两个小岛这四块陆地抽象为四个点，将通过河流连接四地的七座桥抽象为七个线段，于是就将上文的地图抽象为下图：

为此，欧拉抛出了两个新的名词：奇顶点、偶顶点。

奇顶点：如果一个顶点连接的边数是奇数，那么这样的顶点叫奇顶点。
偶顶点：如果一个顶点连接的边数是偶数，那么这样的顶点叫偶顶点。

他表示，任何可以一笔画成的图只能是下面两种情况：

1、要么全部顶点都是偶顶点，那么起点和终点都是同一个点；

2、要么顶点里只有2个奇顶点，一个是起点，另一个是终点。

我们将四地分别编号为A、B、C、D，将七座桥用数字1—7来表示。从图中可以看出，A、B、C、D四个点所连接的线段数都为奇数，我们就只需以点A为起点分析，就能够同理得出以其他三点为起点的情况。

假设从A点出发，如果首先通过2号桥出发，最后通过3号桥返回，那么在每座桥只允许通过一次的情况下将永远不会经过6号桥。因此A点不能作为起点，同理，B、C、D三点也无法作为起点。因此七桥问题无解。

在桥梁布局已经固定的情况下，无论我们多么聪明，都不可能找到期望中的那条路径。欧拉的证明最重要的意义在于：路径是否存在，并不完全取决于我们寻找路径的能力，还受到背后网络结构和性质的影响。

由此，欧拉开创了数学的一个重要分支——图论（Graph Theory）。所谓”图“，都可以看作成为网络。图论也成为网络科学和复杂网络理论的基石。

世界最著名的网络科学和复杂网络研究专家巴拉巴西说：“网络的构造和结构是理解我们周围复杂世界的关键。”

网络问题背后的复杂性

实际上，在每个复杂系统背后都有一个错综复杂的网络，网络刻画了复杂系统各组成部分之间的互动关系：

但是，网络问题往往非常复杂，需要有效的算法和算力支持才能解决。

例如，一个与七桥问题有相似性的"业务员旅行问题"（又称TSP问题，Traveling Salesman Problem）：话说有个业务员因工作需要必须访问多个城市。他的目标是每个城市只访问一次，并且尽可能地缩短旅行的距离，最终返回到他出发的城市。

n个城市时，需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果。阶乘的计算公式：n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

上面的“哥尼斯堡七桥”问题，如果我们要通过“穷举法”把每种路线走一遍的话，共有5040种走法，与上面“7个城市”的路线一致。也就是说，"业务员旅行问题"和“哥尼斯堡七桥”的问题均可以看作是一个网络计算的问题。

我们还可以把上面的“城市”都换成是电脑，电脑之间通过互联网进行了连接。每个电脑与其他电脑之间的连接都在“开YES”和“关NO”两种状态。

对于一个节点数为n的网络：

计算节点连接的状态数量公式为：f(n)=2^n

计算通过节点的路径条数公式为：f(n)=(n－1）！×n

随着n的增加，计算量都呈指数级增长，以至于目前仍然没有理想的算法来计算“业务员旅行问题”。

理解复杂网络背后的结构：小世界+无尺度

巴拉巴西：“如果缺少对复杂系统背后的网络的深刻理解，我们就永远不可能理解复杂系统。虽然复杂系统多种多样，但这些系统背后的网络，无论是结构还是演化方面，都由一些共同的基本规律和原理支配着。”

复杂网络能够被理解，首先在于结构上具有简单、统一的模式，突出地体现在两方面的特性：

1、小世界(Small World)

2、无尺度（Scale-Free）

复杂网络的结构特性（1）：小世界

假设有这样一个情景：你患了一种非常罕见的免疫系统疾病，而该病在全球范围内只有比尔盖茨的基金会资助研发的一种药能够缓解。请问：即使你从未与比尔盖茨有任何交集（除了使用Windows操作系统），联系上比尔盖茨需要经过多少人？

答案是：理论上是5个人。

美国百老汇剧作家格雷 (J. Guare)在电影《六度分隔》中有这样一句经典台词：“在这个世界上，任意两个人之间，只隔着 6 个人。在这星球上的任何两人之间，只有六度分隔。”

这便是著名的“六度分隔”理论：在社会网络中，一个人就是一个节点，人与人之间的联系是一条边，隔着一条边即是一"度(Degree)"。所谓“六度”是隔着六条边，其实是隔着5个人。

1967 年，美国哈佛大学社会心理学教授米尔格拉姆 (S. Milgram) ，通过设计一个信件传递实验，验证了“六度分隔”的假说。

米尔格拉姆以美国堪萨斯州的威奇托市（Wichita）和内布拉斯加州的奥马哈（Omaha）作为实验起点，在两地随机地选择了 296 位志愿者，要求每位志愿者向指定的目标人——一位居住在马萨诸塞州首府波士顿郊区的股票经纪人传递一封信件。实验结果是其中的64位志愿者平均通过约5.3个中间人转手后，成功地将信件送达到目标人手中。米尔格拉姆由此得出结论：任意两个人都可通过平均 6 个熟人联系起来，这是“六度分隔”假说的一次成功的实验验证。

1998 年，美国Cornell大学的博士生瓦茨（D. Watts）和他的导师斯特罗加茨（S. Strogatz）在《Nature》上发表了题为《Collective dynamic of ‘small-world’ networks》（《小世界网络的集体动力学》）一文，在 “六度分隔”假设的基础上，第一次提出了“小世界网络”的概念和模型。他们发现，在各种社会网络、电力网络、神经网络、生物网络中均存在小世界现象。

什么是小世界网络模型？

假设有N个幼儿园的小朋友，围在一起玩系绳子的游戏。首先，每个人都与自己左右的小朋友用绳子系在一起。这样组成的是规则网络（Regular Network）。接着，幼儿园老师随机地选取了若干条绳子，规定绳子一端的小朋友保持不动，另外一端的小朋友可以将绳子解开，并随机选择其余任意的小朋友进行重系。要求是：1、不可以自己和自己系绳子；2、如果我系向了你，你只能再去找别人系绳子，不可以再选择我了。

如果此时用无人机在空中俯瞰小朋友围成的圈和他们身上系着的绳子，这就组成了一个“小世界网络模型”，也被称为瓦茨--斯特罗加茨（ WS）小世界网络模型（如下图）。

在网络科学的语言中，所谓“小世界”的特性，意味着网络中任意两个节点之间的距离（D,distance）非常短。换句话说，任意两个节点之间的平均路径长度（L，即length，也可以理解为走到节点的步数）比较小。

小世界网络模型描述了规则网络和随机网络之间的转变过程：

（1）规则网络：如中国象棋、铁路交通网等，网络中节点之间是按规则方式连接；

（2）随机网络：网络中各节点随机进行连接；

（3）混合网络：规则网络与随机相混合链接的网络。

小世界（SW）模型基本点是，只要在规则网络（1）中对于一些的“远亲”节点进行随机连接，就变成（2）混合网络类型，并自然出现了小世界网络特性。

WS小世界模型的数学模型非常简洁：D=N的对数/K的对数。N是网络中节点的数量，K是每个节点平均会与多少其他节点连接。因为ｌｎＮ的值随着Ｎ的增长得很慢，这就使得即使是规模很大的网络，也可以具有很小的平均路径长度。　

该公式对于社交网络意味着什么？全球社交网络中，节点数为N≈7×10^9，平均度k为≈10^3，因此地球上所有人彼此之间可能只相隔3~4个人。

Facebook拥有世界上最大的社交网络地图。通过计算Facebook2011年5月的社交网络数据——包括7.21亿个活跃用户和680亿个好友关系（通讯录上加为好友），研究人员发现这些用户之间的平均距离是4.74。

著名网络科学家巴拉巴拉指出，“‘小世界’”是所有网络的普遍性质。间隔小既不是人类社会的神话，也不是万维网独有的特征。实际上，大多数网络都具有这样的性质……仅仅需要经过很少的链接便能到达大量的网页或人。”我们与地球另一边的某个人之间的关系，可能比和隔壁邻居还要近。

复杂网络的结构特性（2）：无尺度

生活中我们都熟知所谓“二八定律”，比如：经济中20%的富人拥有80%的财富；经营中20%的客户贡献80%的收入等等。

其实可以进一步思考，这“20%”中也包含着“二八定律”，也就是20%的20%。再往前推一步，“二八定律”的三次方：通过20%的20%的20%，决定80%的80%的80%。

如果使用严格的数学概念来表达，“二八定律”属于幂律分布（Power Law Distribution）。“节点具有的连接数和节点数的乘积是一个定值”。简单地讲，在一个系统里，如果拥有1万元的人有10个，那么拥有1000元的人就有100个，而有10块钱的人就有1万个。

幂律分布的两个特征：1、高度的不平均。2、无尺度（或者无关尺度Scale-Free）

相比于“正态分布”，幂律分布呈现出高度的不平均。比如，人体的身高就属于正态分布，大多数人身高处于居中的位置，太高或太矮都是小概率事件，因此，在坐标中曲线呈现为“钟形”。但是，在幂律分布的坐标中，曲线呈现为“尖峰+胖尾”形状，“头部”的曲线极为陡峭。

大家比较陌生的是幂律分布的“无尺度”特性。Scale-Free，意思是与尺度无关，在任何观测尺度下，幂律分布都呈现同样的分布特征。也就是说，幂律分布没有尺度的限制，不管截取曲线上任何一个部分，都仍然呈现幂律分布特征。但是在整体上呈现为钟形的正态分布，放大任何局部都不会得到钟形的图案。

比如，网站流量如果服从幂律分布，排名第一的网站的流量在前10名网站总体流量中所占的比例，和前10名网站的流量在前100名网站中所占的比例，和前100名在前1000名总流量中占的比例，大体都是相同的。

除了小世界特性，复杂网络在结构上的“简单性”，还在体现为另外一个特点，即：无尺度。复杂网络是无尺度网络（Scale-Free Network），节点之间的连接状况符合幂律分布。

无标度网络（scalefree network）是巴拉巴西在1999年提出的概念，简单地说就是度的分布服从幂律分布的网络。他在2018年重新讲述了他如此命名的原因：“We named these networks scale-free, inspired by the scale-free nature of power laws observed in the vicinity of phase transitions.”。

无标度网络中其各节点之间的连接状况（度数）具有严重的不均匀分布性：网络中少数称之为Hub（枢纽节点）拥有极其多的连接，而大多数节点只有很少量的连接，少数Hub对无标度网络的运行起着主导的作用。

混沌的边缘——复杂网络的演化机制

有一句老话叫做：“一放就乱，一管就死。”

一般是指，组织和社会管理当中，一旦层级过多，管理严苛，就会出现社会或组织僵化的局面。但是如果放松管制，又会出现一片散沙，陷入混乱和无序。

可以把“死”即僵化的局面理解为：规则Order，将晶体作为隐喻；

可以把“乱”即混乱的局面理解为：混沌Chaos，将风暴作为隐喻。

对于一个社会组织，不管是小的团队，还是大的机构，我们显然是希望组织处在Order“治”与Chaos“乱”之间的地带。复杂科学称之为：混沌的边缘（Edge of Chaos）。

处在“混沌的边缘”的组织，可以说是既”严肃“（Order）又”活泼“（Chaos），具有较强高的灵活度和适应性，并且善于学习和创新。

这样的组织状态何以产生？我们可以使用网络科学尤其是复杂网络的“语言”来分析其中的动力机制（Dynamics）和演化规律(Evolution)。

理论生物学家和复杂科学专家Stuart Kauffman在深入研究基因网络和生物进化时，以一个名为“布尔网络”的理论模型作为基础，发现了复杂网络在无序与有序之间转换的隐秘规则。

“布尔网络”的行为基本上是由三个变量引导的：

我们以N=20的简单网络来进行模拟。

如图，N个节点随机进行连接，边的数量逐渐增加，边的数量/节点数量的比例K随之变大。考夫曼发现当K=0.5(10/20)时，节点开始组成一个大的团；当超过1(20/20)这个阈值时，所有节点不仅连接在一起，并且形成一个复杂的组织。

如图所示，聚合成的团块包含的节点数量变化，随K（边/节点）的增加，会呈现明显的S形。K从0.5到1左右，随机的网络会产生一定的秩序，这被称为“相变”（Phase Transition），好比原本无序的水分子在温度瞬间降低后结成了冰块，产生出较为稳定的秩序。

通过计算机的反复模拟和运算，考夫曼发现当K等于或大于4时，网络会从拥有一定的秩序进入到混乱的状态。

不过，在保持N和K不变的情况下，还以可以有另外的办法阻止网络陷入混乱，那就是提高节点行为的可预测性，我们把参数设为P。

以一个灯泡组成的网络来作说明：

假如灯泡E与周围四个灯泡（A、B、C和D）相连，ABCD的开关情况决定了E的开关。假设A-D的开（记为“1”）和关（记为“0”）的状态是随机的，也就是50%的可能是是开(1)，50%的可能是关(0)。如下图，从（0000）到（1111）共16种可能。

如果E也是50%的开和50%的关，那么我们说E的行为是无偏向的。如果是90%的可能偏向于开或者偏向于关，则具有较高的偏向性。

考夫曼及其同仁发现，如果网络的节点行为的可预测性高，网络具有越高的纪律性，则在转变为混乱状态之前，网络节点可以拥有更多的连接数量。

在上面的例子中，如果E的偏向于开或关的概率50%，那么每个节点的连接数量为2～4个时就会向混乱转变。

如果接近75%，那么每个节点的连接数量超过4时才会发生转变。在更高的状况中，节点的连接数量多达6时才会发生转变。

K和P好比是影响网络的秩序状态的两个旋钮。为了让网络维持在具有生命力和创造性的“混沌边缘”，需要合理地调节K和P的参数。

在组织当中，成员之间的连接程度通常由组织结构决定，组织越是扁平，成员之间的连接越多。

如果增加垂直层级，成员间连接则会减少。当组织结构固定时，一般通过调节成员行为的可预测性或者他们的纪律性来改变组织的复杂度。

组织一般在哪种情况下会滑向“混乱Chaos”和“僵化Order”两个极端？

“僵化”Order：

增加管理层级的同时，还严控成员的行为，这意味着：成员之间连接变少的同时，其行为的纪律性还在加强。走向衰败的官僚组织往往具有这种特点。

“混乱”Chaos：

管理层级减少，组织结构扁平化，同时，成员具有过多的自主权。“乌合之众”组成的无政府状态就是这样的例子。

我们可以看出：如果K过大，P要随之提高；如果P已足够高，则K需要增大。

推崇扁平化管理的互联网公司，为何普遍实行OKR目标管理体系？因为，在扁平化状态下，成员之间连接数量较大，需要提高成员行为的一致性，也就是可预测性，而OKR最重要的作用在于使得组织上下的目标实现对齐，节奏保持同频。否则，容易滑向混乱Chaos的状态。

反过来，一些原本官僚色彩较为浓厚的机构（比如：国有银行），开始通过减少管理层级，以事业部建制赋予团队更多自主权等方式，扭转可能陷入僵化Order的局面。

理解社会网络的结构：节点位置决定影响力

上面我们主要谈了广义上的网络（比如互联网、基因网络、交通网、电力网、生物网络等）的基本结构和演化机制。现实生活中，我们更关注的是社会网络，同时，我们也主要受到社会网络的影响。

社会网络，无论是简单网络（如，咖啡厅里的人群），还是复杂网络（如社交媒体组成的网络），都存在两个基本要素：

第一个要素是Connection连接：社交网络中谁与谁连接在一起以及他们之间的关系；

第二个要素是Contagion传播：几乎任何东西都可以沿着连接关系流动，包括可见的和不可见的。

连接和传播分别决定了社会网络的结构和功能，相当于人类社会这个“超级组织”的解剖结构和生理机能。

社会网络是人与人之间社会关系（如家人、朋友、同事、商业伙伴等）的整合，其中人为节点，社会关系为边。

在社会网络中，每个人的位置不尽相同。有的人交际面很广，处于网络的核心位置，具有广泛的影响力。有的人则不善交际，社会联系少，处于网络的边缘位置。

美剧《纸牌屋》中有句名言：

Power's a lot like real estate.It's all about location,location, location.The closer you are to the source,the higher your property value.权力正如不动产，位置是重中之重，你离中心越近，你的财产就越值钱。

套用在社会网络中：（在社会网络中的）影响力就像不动产，位置是重中之重，你离中心越近，你的影响力越大。

（社会网络中的节点具有不同的位置。蓝、绿色较为中心，红、橙色较为边缘）

一般我们用中心性（Centrality）来衡量社会网络中节点的影响力。中心性可应用于识别社会网络中最有影响力的人、互联网中的热门网站、城市网络中的关键基础设施、疾病传播网络中的超级传播者等。。

下图展示了四种常见的中心性度量。在每幅图中，颜色越偏向红、橙色表明中心性越大，越偏向蓝、绿色表明中心性越小。

（一）度中心性(Degree Centrality)

度中心性定义为与某节点直接相连的节点的数量多寡。在社会网络中可以理解为某人拥有的社会关系的数量。社交媒体中大V明显具有较高的度中心性。

类似于“交际花”：在某个社会网络中与相当多的人都认识，人脉广泛，因此具有较大的影响力。

（2）接近中心性(Closeness Centrality)

接近中心性描述了某节点与其他所有节点距离的远近。接近中心性较高的节点与其他各个节点的距离都比较近。

类似于“知心大姐”：因为亲和力强，善解人意，热心助人，大家都愿意跟知心大姐谈心，甚至掏心窝子话。

（3）居间中心性(Betweenness Centrality)

居间中心性（又称：介数中心性），网络中所有的短路径穿过某个节点的次数，可以衡量某节点的信息传递能力。具有高居间中心性的节点如同一个繁忙的十字路口，可通过大量车流。

类似于“媒婆”：不仅认识很多男男女女以及家庭，并且是牵线搭桥的中间节点。

（4）特征向量中心性(Eignvector Centality)

特征向量中心性，节点的影响力既取决于其拥有连接的数目，也取决于所连节点自身的中心性。换句话说，某个节点的特征向量中心性较高意味着，该节点与很多高影响力的节点相连。谷歌的PageRank是特征向量中心性的变形。

类比于“秘书”：因为与高层领导关系比较近，虽然职位不高，但在组织中依然有比较大影响力。

在买房或者卖房时，评估一套房子的价值有很多维度和指标：位置、学区、楼层、朝向、面积、交通、装修、采光、通风，甚至风水等。但是，众多的指标对于房价的影响有大小之分，也有直接or间接的区别，最终起到关键影响的因素主要是位置、楼层及朝向等几个。

同样地，在社会交往中我们希望评估准确一个人在团队和组织以及社会中的影响力，同时还要提升自己的影响力。影响力大小的指标有很多：家庭背景、学历、收入、职位、领导力、口才等。如果将这些复杂因素根据重要性进行简化，其实就是“中心性”为核心的不同维度。

维度	评分（0~5分
度中心性(Degree Centrality)
接近中心性(Closeness Centrality)
居间中心性(Betweenness Centrality)
特征向量中心性(Eignvector Centality)
合计

理解社会网络的机制："三度影响力"引发行为

前面我们说到，社会网络具有两大要素：

1、关系(Connections）

2、传播（Contagion）

“中心性（Centality）”是对一个节点在社交关系中的影响力的衡量。而“影响力”并非静态地存在于“关系”之中，还是能够沿着社会网络中的节点进行“传播”。

影响力的传播遵循着一定的规律，可以称之为“三度影响力原则”（Three Degrees of Influence Rule）。我们所说或所做的事情，都有可能在网络上泛起涟漪，影响我们的朋友（一度），我们朋友的朋友（二度），甚至我们朋友的朋友的朋友（三度）。如果超出三度分隔，我们的影响就会逐渐消失。同样，我们也深受三度以内朋友的影响，超出三度的朋友对我们的影响就有限了。

相距三度之内的节点之间存在强连接关系，强连接可以引发人与人之间的态度、情绪和行为的传播。快乐可以传播，忧郁也可以；健康的生活习惯可以传播，反过来，不健康的习惯也会传播。因此，肥胖作为现象也会在人际网络中“传播”

Nicholas A. Christakis教授和James H. Fowler教授在2007年发表在New England Journal of Medicine的“The Spread of Obesity in a Large Social Network over 32 Years”一文。他们通过一项为期32年的追踪研究，探究了肥胖是如何在社会网络中蔓延的，这篇论文曾引起了全世界医学界的关注。

该研究通过对12067位有紧密社会联系的人在32年间人际关系和身体状况进行了跟踪调查，时间跨度为1971年到2003年。

下图中圆圈（节点）代表每个调查对象的个体，红色圆圈表示女性，蓝色圆圈代表男性。

每个圆圈的大小与该人的身体质量指数（BMI）成正比。圆圈内的颜色表示肥胖状态：黄色表示肥胖者（体重指数≥30），绿色表示非肥胖者。

圆圈之间的连接线的颜色表示他们之间的关系：紫色表示友谊或婚姻关系，橙色表示亲属关系。圆圈消失代表该人死亡，圆圈间连接线的消失代表两人之间的关系不再存在。

从1971年到2003年间的7次检测中，一个与肥胖个体有“一度”关系的人，发生肥胖的风险，相较于随机网络高出45%。如果是“二度”关系，风险会高出20%；如果“三度”关系，风险会高出10%。如果是“四度”或者更远的关系，则没有那多相关性了。

换句容易理解的话说，即一个人的行为，会在社交圈中产生三重影响，影响朋友（第一重影响），影响朋友的朋友（第二重影响），影响朋友的朋友的朋友（第三重影响）。

如果你的朋友肥胖，那么你肥胖的可能性就会高出45%；如果你朋友的朋友肥胖，你肥胖的可能性就会高出20%；而你朋友的朋友的朋友肥胖，则会让你肥胖的可能性高出10%。但你朋友的朋友的朋友的朋友肥胖，则对你影响不大了。

也许你会生出一个疑问：根据小世界网络模型，人与人的联系不是有“六度”吗？难道不会影响到六度关系的人朋友的朋友的朋友的朋友的朋友的朋友）吗？

Christakis教授和Fowler教授在他们的著作《大连接》中指出，三度影响力的原则并不与小世界模型和六度分隔冲突，只是在社会网络中人与人之间行为的相互影响（也包括情绪、态度等）主要发生在三度的关系，超过四度及以上影响力就式微了。但是，诸如信息、谣言、传染病等“传播物”则会在六度空间中传播。

一度、二度到三度，属于强连接关系，能够引发行为；而四度、五度和六度，属于弱连接，可以扩散信息。

发布于 2021-04-25 17:32

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