命题范畴，记录一下突然发现的奇奇怪怪的范畴。

我注意到了这样一件事

本文写作参考陶哲轩实分析和李文威代数学方法

命题范畴

我们来逐一验证范畴的公理成立（虽然这是很显然的了）

我们取命题为对象，命题间的箭头 \Rightarrow 为态射。也就是充分性。对偶范畴里，态射为必要。

定义 1.1.1 一个范畴(category) \mathcal{C} 包含下列资料:

• 类 \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) , 其中的元素称为 \mathcal{C} 中的对象(object);
• 类 \mathrm{Mor}(\mathcal{C}) , 其中的元素称为 \mathcal{C} 中的态射( morphism)或箭头(arrow);
• 一对映射 \mathrm{Mor}(\mathcal{C})\overset{s}{\underset{t}\rightrightarrows }\mathrm{Ob}(\mathcal{C}) , s 给出态射的 定义域(domain)或来源(source), t 给出态射的值域(codomain)或目标(target);

记类 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)=s^{-1}(X)\cap t^{-1}(Y) , 其中的元素称为 X 到 Y 的态射, f\in\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y) 也记为 f:X\to Y 或 X\overset{f}\to Y .

• 对任意对象 X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) , 存在恒等(identity)态射 \mathrm{id}_X ;
• 对任意对象 X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}) , 存在态射间的合成映射

\quad\begin{align} \circ:\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(Y,Z)\times\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)&\to\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Z)\\ (f,g)&\to f\circ g \end{align}
满足

• (i). 结合律: 对态射 f,g,h\in \mathrm{Mor}(\mathcal{C}) , 若 f\circ(g\circ h) 和 (f\circ g)\circ h 有定义则必相等;
• (ii). 幺元律: 对态射 f:X\to Y , 有

\quad f\circ \mathrm{id}_X=\mathrm{id}_Y\circ f=f
不引起歧义时, \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y) 简记为 \mathrm{Hom}(X,Y) , f\circ g 简记为 fg .

容易验证这是一个范畴，如果两个命题等价，就是说， p\Leftrightarrow q ，那么这两个命题同构。

一些有趣的问题，

研究命题 p 的自同构 \mathrm{Aut}(p) 群

彼此同构的命题间会构成groupoid，这些是同一对象的等价定义吗？

这个范畴中有 \rm Initial\,\,Object 或者 \rm Final \,\,Object 吗？

似乎物理学家们的终极梦想之一就是在所以物理命题的范畴里找到\rm Initial\,\,Object

但数学里这是不可能的事情吧...（一种直觉，不一定对，毕竟数学的世界太丰富了）

好了，就写到这里吧，该出去散步了。

我散步回来了，深圳最近是真热啊，幸好书城很大，空调很凉快。

散步的过程中想到了几个问题

命题范畴的表示

命题范畴中的广群和 \mathrm{Aut}(p)

命题范畴的表示

命题范畴是一个偏序集构成的范畴

容易验证命题及充分性 \Rightarrow 满足自反，反对称，可传递

我们把命题 P 限制在 ZFC 公理系统中满足分离公理的命题

也就是说，设 A 是一个集合，对任意的 x\in A ,

P(x) 表示关于 x 的一个性质（即 P(x) 要么是真要么是假）

那么存在一个集合为 \{x\in A|P(x) 为真 \}

我们记 P 的逆命题为 P^* ,否命题为 \neg P

对偶地，会有一个集合 A/ \{x\in A|P(x) 为真 \} （这里是取补集的意思）

也就是 \{x\in A|\neg P(x) 为真 \}

做这样的表示的动机来源于高中课堂上老师对于充分性的讲解

我是深圳的可以推出我是广东的，小集合可以推出大集合，注意到这里命题和集合的通过函子联系

如果 P_1\Rightarrow P_2 ,那么\{x\in A|P_1(x) 为真 \}\subseteq \{x\in A|P_2(x) 为真 \}

如果 P_2\Rightarrow P_1 ，那么\{x\in A|P_2(x) 为真 \}\subseteq\{x\in A|P_1(x) 为真 \}

即 P_1\Leftrightarrow P_2 ，那么\{x\in A|P_1(x) 为真 \}=\{x\in A|P_2(x) 为真 \}

我们同样可以给

顺便说一下对于 A\subseteq B\wedge B\subseteq A\Leftrightarrow A=B 的理解，这是说 \subseteq 作为态射且 \supseteq 也是态射于是同构

取对偶(否命题）的话两边箭头都反过来就好了。

我们可以从命题的表示看一看对于这样的对象， p\Rightarrow q ,

逆命题 (p\Rightarrow q)^*=q\Rightarrow p 如果也为真，那么 p\Leftrightarrow q

然而，一般情况下，\{x\in A|P_1(x) 为真 \} \subset \{x\in A|P_2(x) 为真 \}

这就导致了逆态射（反包含）不存在

对于 \neg(p\Rightarrow q)=\neg p\Leftarrow\neg q ，我们在集合上看上这就是补集的性质。

现在我们可以谈谈原命题和逆否命题同真假的事情了

这是说\{x\in A|P(x) 为真 \}\subseteq\{x\in A|Q(x) 为真 \}

取对偶后得到 A/ \{x\in A|P_1(x) 为真 \}\supseteqA/\{x\in A|P_2(x) 为真 \}