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浅谈（高阶）范畴的精神
mschenchang
数学家
对一个object的认识，可以是看ta的组成（细分再细分：分子，原子，原子核，等等\cdots），这是集合论的思想，
但是也可以是看ta与其他object的关系，这是范畴论的思想。
其实这个思想对于中国人而言，倒是真的不陌生，远在唐朝时期， 我们就知道：
下属当然困惑，既然你这不信，那不信，“那当如何断人？”林右相回答：
举例，集合论的观点与范畴学的观点的区别:
比如说，集合的非交并，
S\sqcup T :=\{ x| x\in S \; \text{or}\; x\in T\}
这个是集合论的观点，直接定义非交并是怎样的一个集合。
而用范畴论的观点来看，
S\sqcup T 是唯一的那个集合，使得
1. 有两个映射： S\to S\sqcup T \leftarrow T
2. 任何的一个集合 Z ，如果也有这样的两个映射： S\to Z \leftarrow T, , 那么 Z 一定factor through S\sqcup T , 即 S\sqcup T \to Z fits in the diagram (which is so hard to draw in zhihu, 大家只能想象了:)
S\to \downarrow S\sqcup T \leftarrow T \\ S\to Z\leftarrow T,
这个是借助Object和别的Object的关系来间接描述ta自身。这些性质，也是我们所说的universal property.
再比如说，集合的product，
S\times T:=\{(x, y)|x\in S, y\in T\} ，对吧？这个当然也是集合论的观点，直接定义product是怎样的一个集合。
那咱们用范畴论的观点来看呢，
S\times T 是唯一的那个集合，使得
有两个映射： S\leftarrow S\times T \to T
2. 任何的一个集合 Z ，如果也有这样的两个映射： S\leftarrow Z \to T, , 那么 Z 一定factor through S\times T , 即 S\times T \leftarrow Z fits in the diagram (which is so hard to draw in zhihu, 大家只能想象了:)
S\leftarrow S\times T \to T \\ S\leftarrow Z \uparrow \to T,
你看，和上面的例子比起来，其实就是所有arrow反过来。所以呢， \sqcup is also called coproduct. 所以用范畴论的观点，你更加接近一个东西的本质。
再举一个例子，线性代数中，定义向量空间的tensor product：
V和W是两个向量空间， V=span\{v_i\}_{i=1}^n, W=span\{w_j\}_{j=1}^m,
V \otimes W := span\{v_i \otimes w_j\}_{i, j=1}^{n, m}
这是从集合论的观点来描述Object自身。
用范畴论的观点来定义，我们先定义向量空间的product, V\times W , 然后呢，我们定义 V\otimes W 是(up to isomorphisms) 唯一的那个向量空间，使得
1。有一个双线性映射： V\times W \xrightarrow{\otimes} V\otimes W
2。任何的双线性映射， f: V\times W \to Z 都factor through, 即 f=g\circ \otimes: V\times W \xrightarrow{\otimes} V\otimes W \xrightarrow{g} Z , f(v, w)=g(v\otimes w).
这个是借助Object和别的Object的关系来间接描述ta自身。
所以说，用范畴学的观点将一件事情说清楚之所以难，就是我们的祖先说的只可意会，不可言传，将意会的东西说清楚，就需要很多很多的铺垫，背景。
那既然，这么难说，那我们为什么还要有范畴论的观点来说呢？？除了，ta可能更接近一个东西的本质，除了ta有这么漂亮的universal property。
因为，当我们到一个未知的世界里面时，我们其实就是借助Object和别的Object的关系来了解这个Object的！
范畴学和宇宙，和物理的关系参见下面的文章：
ta大概的意思是说，物理学家来观察我们的宇宙也是我们的唐朝祖先断人一样，实际上是通过做一系列实验，来观察一个东西和另一个东西，通过一系列事件，发生怎么样的关系。然后，就该得结论了，物理学家搞出一个理论，说啊，这个东西（在集合论的思想里）是什么什么（原子，原子核，波，能量），并且满足什么样什么样的方程，所以ta会出现在我们观察到的现象里。所以说，我们直接观察到的这一堆数据其实用范畴论的观点来看，已经是OK 啦！所以说范畴论的观点实际上是一种更直接的语言来描述我们的宇宙， 或者说是更直接的和实验结果相联系。
这篇文章提出来说，物理的不同阶段对应着不同的新的数学的出现。
第1次是牛顿3定律
对应着微积分的出现，
第2次物理革命是电磁革命，
麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波，也是光波。后来人们发现，这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。
第3次物理革命是广义相对论，
爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这种新物质。
第4次物理革命是量子革命
需要由冯诺依曼引进的（无穷维）线性代数，或者更专业的讲，是operator alegbra，泛函分析来研究。
预言：量子场论或者是第5次，未来将至的物理革命，
对应的将是（高阶）范畴学的理论。
那么什么是一个范畴呢？回忆一下集合，或者数：
2\times 3=6
而范畴，不光有Object，还有Object之间的Morphism（关系）：
比如说，我们的世界，不光是
还有它们之间的关系。翻译关系：
The lesson we learned here, is that 我们可以compose arrows: f\circ g
从中文翻译到法文，我可以先翻译到英文，再从英文翻译到法文。
在理想的世界里，我们会有结合律： (f\circ g )\circ h = f\circ (g\circ h) 。如果在加上id的概念，我们就得到了一个范畴。
但是在现实中，结合律常常不成立的。
从英文翻译到法文，再到德文，和直接翻译成德文，常常有一个差别。如果我们每次都“记住”这个差别，那我们就不止有Object, morphism, 我们还有morphisms之间的2-morphisms（我们有人与人之间的关系，不同的关系之间，它们也有关系）。 那么，一个2-范畴，就是一个有Object，morphism，和2-morphism的地方。而退一步讲，我们以前熟悉的集合，是一个0-范畴。
我们也许不会这样停下来，我们会有2-morphisms之间相差的3-morphisms， 以此类推，我们就会有3-范畴，4-范畴，等等这样的高价范畴，这样的模型，也许这提供了一个描述真实世界，真实的宇宙的一个数学模型。
这一段，我估计没有时间讲了，所以也没有完全写好啊，只是一个大概。
几何的加入：
Object：地球上所有的点
Morphism（arrow）：一点可以通过旋转到另外一点，它们之间就有一个arrow
编辑于 2022-10-09 13:38
几何学
范畴论
代数几何
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