学好数学，需要理解数学的本质
这篇文章灵感源自我的学生，她是上海妈妈，女儿在读初中。看大家在讨论小学数学和奥数的内容后，她提出了自己的过来人经验。
根据我自己的学习经验，确实如此。学好奥数，不等于学好数学；学好数学，不等于学好奥数。当然，这两者可以同时学好，不过本质上不是一个东西。
我的奥数水平很差，只在五年级的时候参与过一次奥赛尖子班海选，尖子班第一次培训完考试就被刷下来了。但我不觉得自己“不聪明”，因为数学我在我们班就是第一名，全年级大概是30名左右吧。
我在培训的时候，第一次知道那些“走捷径”的解法，惊奇却也觉得是旁门左道。所以退出奥赛班，没有影响我的自信心，继续认真学习数学。
最后小升初只有167分，重点班的分数线是160，算是中等马。因为我爸仇人的事情换了个学校，插班进了2班。初一上半学期有点懵，数学期中只考了72/120，然后开窍，抓到了代数学习的规律，成绩就上来了。初二上半学期就是全级第一了，此后一直保持到中考。
我知道其他数学好的同学有在学奥数，不过我是2班的，他们是1班的，所以平时不玩在一起。我也经常带同学学习，给他们讲题，大家都喜欢和我玩。我一直待在2班，让我转1班也不去，因为我喜欢和2班的小伙伴一起踢球。
总之，不学奥数，不是不学无术；学了奥数，未必做题有术。
我认为，只要把学校教的数学，牢牢地掌握了，就足以应付考试了。但是光靠老师和课本是不够的，老师和课本只能是打基础，依然需要适当地发散、延伸。不过没有基础，就谈不上后续的东西。
数学的学习，是分次第的，步骤不能乱，踩准一个阶梯，才能再上一个阶梯。
第一阶段：具象到抽象的转换，即意识到现实世界的事物，是可以用数字来表示的。
这是一年级的功课，如果提前，大概5-6岁是适合的。太早了，未必可以把握，因为抽象思考能力可能还没发育出来。虽然简单，但很重要，举一反三就是这么来的。老师或家长，要给小朋友大量的具体例子，这样才能充分地领会数字的含义。这个阶段最多慢一点，但基本没有问题。
第二阶段：计算，即基本的四则运算，和一些常用的速算方法。
这是二到五年级的功课，包括整数、分数、小数的计算。要练习到熟能生巧，变成小菜一碟的程度。计算马虎一些，可能会出错，我就经常算错，但算法是对的。直到高考前我才把这个毛病改了，此前我一直用自检的方式。即做完之后，再检查一遍计算过程。
早期的快与准之间，快更重要。但是快，要建立在完全掌握的基础上，不是为了快而快；而是根本就慢不下来了。比如九九乘法表，常用的平方数，速算的方式，都得记起来。到了初中，依然是有一些要背下来的速算数值，比如根号2、根号3，但背3.14（159……）就没意义了。
第三阶段：理解概念，即知道数学公式或表述，对应什么内容。
这也是小学阶段要做的功课，比如分数、余数、无理数、整数、梯形、平行四边形之类的。这些概念都有不同的定义以及属性，但同类的概念背后也有共同的逻辑。每一种概念里面，又有特殊的，如三角形有直角三角形、等腰三角形。
小朋友需要学会分门别类，在大脑中将同属一类的概念归在一起，然后抽出属性值。比如梯形、平行四边形和长方形，起码有三种相同的属性。你知道是哪三种吗？（答案我放在后面）
第四阶段：推导结论，即根据现有的条件，得出未知的结论。
小学阶段的题目基本是现实的应用题，以计算为主，但也有推导的逻辑。只不过这种逻辑常常是现实的，而不是数学的。比如，队列问题、相遇问题、做功问题。逻辑来源于哪？就是概念。如果小朋友脑子里没有概念，那么就无从推导。
现实问题好解决，就是没有亲身经历过，也在电视上看过，这些概念不会出错。但现在条件好了，小朋友对很多事情早就有概念，做过了，所以老师可能就不讲。以前我们就没有，老师还得画示意图，在黑板画个小火车才行。无形之中，老师的解释过程就会更加详细。
如何理解新概念，是否真正掌握新概念，就决定了推导过程的顺利与否。而推导，基本就是中学数学的常态。只是记住了公式或者定理，不知道如何推导，就等于绑死了，不会举一反三了。
比如，a2 + b2 > 2ab（a≠b）是初中最常用的公式了。它怎么来的？
∵（a-b)2>0, a≠b
∴ a2 -2ab + b2 > 0
∴ a2 + b2 > 2ab
知道这个推导过程，你就可以做更多的应用了。比如，把平方去掉，两边同时除以ab，都可以变成各种题型。这是以不变应万变的基础。出个题，考考你。
已知：a≠0，b≠0，求：a/b + b/a的最小值。
再举一个平行线的例子。
平行线有一条定理：两直线平行，内错角相等，同位角相等。你怎么证明它？
依靠小学的知识，你就可以证明了，起码有三种方法。做完辅助线，解法就很清楚了，如下图。
现在公布前面三个属性的答案：
第一，都是四边形；
第二，都有两条平行的边；
第三，左、右上角和下角加起来都是180°。
正是依靠这三条属性，还有三角形、四边形的基本性质，我们就能推导初中几何的知识出来。从小学到初中，乃至到高中，都是从具体到抽象，从特殊到普遍，从简单到复杂，从单一到综合的学习过程。后面的知识，建立在前面的基础上，主线从来都没有变过，是一脉相承的。
抓住了这条主线，数学肯定就能学好，而且一辈子可能都不会忘。现在让我像高中生一样全心复习，明年参加高考，我依然有把握能考上中山大学。我只是淡忘了，不是忘记，看一眼就记起来了。
奥数呢，有时候在这条线上，但大多数时候是不在的，太多出其不意的东西。从我个人的学习经历，老老实实地把课内的数学学扎实了，足矣。最重要的中考、高考，都不会考奥数。
如果现在基础不扎实，那么就得从不扎实的地方开始补起。奥数班就可以退了，不补数学，没用。
文章被以下专栏收录
