1.2.7 电偶极子、电偶极矩、电多极矩
前面研究过等量异种电荷建立的电场，这是一个相当重要的应用很广泛的物理模型。在前几节所讨论的区域主要是这两个点电荷附近，现在来讨论距离这两个点电荷充分远处的电场分布和电势分布，坐标系的建立与前面所述相同，如下图所示。
首先应用电势叠加原理求解电势分布：
u(\vec{r})=u(x, y, z)=k q\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}}}\right)
对上式括号内部通分，当场点离源点足够远时作近似：分母 {\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}}} 和 {\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}}} 都趋于 r={\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} ，分子上这两个量的差值趋于 dcos\theta ，\theta是 \vec{r} 与 \vec{k} 所成的夹角（实际是用三角形的第三边在 \vec{r} 上的投影代替了另两边的长度差值，借助泰勒公式可以证明这个近似是正确的，后面也会以一种比较繁复的方式表明这一点），于是得到：
u(\vec{r})=k\frac{qd}{r^2}cos\theta=k\frac{\vec{p}\cdot \vec{e_r}}{r^2}
看起来蛮眼熟的，又是跟距离的平方成反比，但是别忘了这是电势分布不是电场分布，如果再求一次负梯度，可得此时电场强度与距离的立方成反比。这说明相隔一定距离的等量正负电荷建立的电场在远处，比单个电荷建立的电场趋于0的“速度”要更“快”。在第1.2.4节末尾曾经提到等量异种电荷的电场在离点电荷区域较远的地方呈现类似球对称性的特征，上式就是造成这一特点的原因。
根据上式，即使电荷量变化了，只要qd不变，在很远处的电场分布就保持不变。这说明一对等量正负电荷建立的电场在远处的分布，除了取决于距离 r 和方向 \theta 这两个“场点”引入的外部因素之外，更重要的是它直接受到量 \vec{p}=q\vec{d} 的控制（矢量 \vec{d} 定义为由负电荷指向正电荷的矢量）。量 \vec{p} 定义为这一对等量正负电荷组成的体系的电偶极矩，这种一对等量异种电荷组成的体系称为电偶极子。
把矢量\vec{p}=q\vec{d}而不是标量qd定义为电偶极矩的原因是，这一对等量异种电荷的连线已经在空间中给出了一个特殊的方向，也就是这个电场固有的对称性存在的方向。如果要研究很多电偶极子共同建立的电场在距离它们都很远处的分布情况，就必须考虑到不同的电偶极子在空间中占据不同的位置，其建立的电场各自的对称轴指向不同的方向，因此\vec{p}是固定矢量而不是自由矢量。
上述推导方法虽然在很远处是有效的，但是总会遇到“不太远”的情形，怎么办？继续研究上式会发现作近似处理时主要问题是如何处理\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}}}和 \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z+\frac{d}{2}\right)^{2}}} ，最直接的方法就是进行多变量函数的泰勒展开，但是计算过于繁复，表达式也过于庞大，这里就不计算了。既然多变量函数的泰勒展开过于复杂，不妨转换一下思考方式，想办法把多变量函数问题简化成单变量函数问题。
上式中出现的 \theta 提供了灵感，直接考虑从原点出发的沿着特定的射线（因而 \theta 也是定值）上的电场分布，引用余弦定理可以把 \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{d}{2}\right)^{2}}} 简化为 \frac{1}{\sqrt{r^{2}-r d \cos \theta+\frac{d^{2}}{4}}}=\frac{1}{r \sqrt{1-2 \cdot \frac{d}{2 r} \cos \theta+\left(\frac{d}{2 r}\right)^{2}}} 。取辅助变量 x=cos\theta a=\frac{d}{2r} ，于是问题转化为简化 \frac{1}{\sqrt{1-2ax+a^2}} ，这就将多变量函数简化成了单变量函数。以 a 为自变量，在 a=0 处对这个表达式求泰勒展开，可得：
\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1-2 a x+a^{2}}} &=1+x a+\frac{\left(3 x^{2}-1\right)}{2} a^{2}+\cdots\\&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \frac{d^{n}}{d a^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-2 a x+a^{2}}}\right)_{a=0} a^{n}\\&=\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) a^{n} \end{aligned}
P_{n}(x)=\frac{1}{n !} \frac{d^{n}}{d a^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-2 a x+a^{2}}}\right)_{a=0}称为第一类 n 阶勒让德（Adrien Marie Legendre，1752-1833）函数，也就是函数\frac{1}{\sqrt{1-2ax+a^2}}在 a=0 处的泰勒展开式的各阶系数（通常的“数学物理方法”教材中一般不把这个表达式作为勒让德函数的定义，本文采用这样的引入方式只是为了给勒让德函数的物理意义提供一个比较清晰的解读。对数学物理方法和特殊函数相关内容感兴趣的读者可参阅：吴崇试．数学物理方法[M]．北京：北京大学出版社，2003）。通过逐次计算可以得到各阶勒让德函数的表达式，这里给出前4阶勒让德函数如下：
P_0(x)=1,\\ P_1(x)=x,\\P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\\P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x),\\P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)
进一步讨论得知： P_n(x) 当 n 为奇数时为奇函数，当 n 为偶数时为偶函数。有了勒让德函数，考虑到这条射线相应的 \theta 是 \vec{r} 与 \vec{k} 所成的夹角（靠正电荷那一侧，另一侧夹角是 \pi-\theta ），就可以给出一开始的 u(\vec{r}) 的另一种表达式：
u(\boldsymbol{r})=\frac{2 k q}{r} \sum_{k=0}^{\infty} P_{2 k+1}(\cos \theta)\left(\frac{d}{2 r}\right)^{2 k+1}\\=\frac{2 k q}{r}\left[\cos \theta\left(\frac{d}{2 r}\right)+\frac{5 \cos 3 \theta+3 \cos \theta}{8}\left(\frac{d}{2 r}\right)^{3}+\cdots\right]
表达式的第1项正是前面那个近似方法得到的 k\frac{qd}{r^2}cos\theta ，表明所用的近似方法是正确的。第2项描述的电势分布与距离的4次方成反比，又比第一项随距离增大趋于0的“速度”要更“快”。同理，可以判断表达式的第3项与距离的6次方成反比，第4项与距离的8次方成反比，余类推。
有了这样的研究方法，现在探讨更复杂的情形：分布在有限空间中的电荷体系在很远处建立的电势分布和电场分布，其表达式实际上就是1.2.5节最后给出的两个公式，但这两个式子并没有清楚地给出电势和电场是如何随场点的不同，特别是 \vec{r} 的变化而变化的，能否清晰地给出这类电荷体系在充分远处的电势分布随的变化规律？答案是肯定的，在描述体分布的电势的公式中将被积函数 \frac{\rho_e}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|} 变形为 \frac{1}{r \sqrt{1-2 \cdot \frac{r'}{r} \cos(\vec{r},\vec{r'})+\left(\frac{r'}{ r}\right)^{2}}} ，这里的 \cos(\vec{r},\vec{r'}) 是两个矢量夹角的余弦。然后采用与上面的方法完全类似的方法将其展开并对体积元作积分（注意积分变量只是“源点”，并且这意味着需要计算无穷级数的积分），最终所得的结果里必然也有随“场点”距离的1次方、2次方、4次方、6次方等成反比的项：
\begin{aligned} u(\boldsymbol{r})&=\int_{V^{\prime}} \frac{k \rho_{e} d V^{\prime}}{r \sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2 \frac{r^{\prime}}{r} \cos \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime}\right)}} \\&=\int_{V^{\prime}} \frac{k \rho_{e} d V^{\prime}}{r}\left[1+\cos \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime}\right)\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)+\frac{\left(3 \cos ^{2}\left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}^{\prime}\right)-1\right)}{2}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}+\cdots\right] \end{aligned}
这些项的系数可以反映电荷分布的特征：1次方项的系数\int_{V'}\rho_edV'对应了体系的总电荷量，2次方项的系数\int_{V'}r'cos(\vec{r},\vec{r'})\rho_edV'对应了体系的电偶极矩，同样地，更高次方项的系数必然对应体系的电多极矩（电多极矩是高阶张量，严格的定义和推导需要查阅专门的书籍，由于数学形式过于复杂这里就不再深入了，感兴趣的读者可参阅：[美]旺斯纳斯．电磁场[M]．陈菊华，方开文，王昌泰等，译．北京：科学出版社，1987. 或：[美]格里菲斯．电动力学导论[M]．贾瑜，胡行，孙强，译．北京：机械工业出版社，2013）。另一种计算电多极矩的方法是直接使用球谐函数将式按r的各次幂展开，详细方法可参阅：曹昌祺．经典电动力学[M]．北京：科学出版社，2009。
工程上经常反过来运用这样的思想，在测量了一个未知分布的电荷体系在很远处建立的电势分布后，分析这个电势分布中与距离的1次方成反比的项占多少，与距离的2次方成反比的项占多少等，就可以推断出体系的电荷分布的相关特征，并采用相应的点电荷、电偶极子等对未知的电荷分布进行模拟。
用已知电场分布或电势分布的多种电荷体系的组合来逼近未知分布的电荷体系建立的电场，从而使用已知的电荷体系对未知分布的电荷体系进行建模和简化，这是“工程电磁场”中求解电场分布或与电场相关的其它物理量的“模拟电荷法”的理论基础。这个方法与这部分介绍的思想有相通之处，只不过模拟电荷法中使用的电荷分布更为“工程化”（例如不但会出现点电荷和电偶极子，还会出现分布在直线上的、圆周上的电荷等等各种复杂情况），其理论上的解算也更加复杂而已。
这里还有一个问题，如何确保在这样的建模和简化所得的结果符合实际情况下的电场分布？这个问题涉及到边值问题的唯一性定理，将会在后面解释。
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